Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
Ein logistisches Wachstum liegt vor, wenn der momentane Zuwachs proportional zum momentanen Bestand und zum vorhandenen Freiraum angenommen wird.
Die Differentialgleichung zur Beschreibung dieses Wachstumsmodells lautet
(P Population, λ Parameter, K Kapazitätsgrenze)
und hat die Lösung (Herleitung siehe unten).
Herleitung der Lösung
Aus
folgt
Eine Partialbruchzerlegung und anschließende Integration führt zu
Das Integral ergibt für
Durch Ausmultiplizieren kann nach P aufgelöst werden:
Aus der Anfangswertbedingung P(0) = P0 kann die Konstante c berechnet werden.
Damit ergibt sich für die Lösung