Actividad Teoremas de continuidad y derivabilidad

Sea la función  y=f(x) definida en el intervalo [-2 , 5] y cuya gráfica es la que aparece en el archivo GeoGebra.

En las barras o en la gráfica pueden desplazarse los valores de a y b para estudiar diversas situaciones en el intervalo [a , b] dentro del dominio de f. También puede desplazarse el valor de c dentro del intervalo [a , b].

Aparece trazada en línea discontinua la cuerda que une A(a,f(a)) con B(b,f(b)) y su paralela por el punto C(c,f(c)).

Aparece trazada en rojo la recta tangente a la función en C.

Cuestiones

1.     ¿Es continua la función en su dominio?

2.     ¿Es derivable la función en su dominio?

3.      ¿Se puede aplicar el Teorema de Bolzano en alguno de los intervalos siguientes:

       [-1 , 2] , [-1 , 4] , [-1 , 5] , [3 , 5] ?. Conclusión que se obtiene en cada uno de los intervalos.

4.     ¿Se anula la función en alguno de los intervalos anteriores? Si existe, determinar en cada uno de ellos el valor aproximado que anula a la función.

5.     Demostrar, eligiendo un intervalo adecuado, que la función alcanza el valor 1,5. Determinar el valor aproximado de las abcisas donde se verifica lo demostrado. Si has utilizado algún teorema, detállalo.

6.     Determinar, si existe, un intervalo [a , b] en el que se cumplan las hipótesis del Teorema de Rolle. Si existe, determinar el valor aproximado dado por la tesis.

7.     ¿Se puede aplicar el Teorema del valor medio en el intervalo [-2 , 3]?. En el caso de que se pueda, determinar el valor de la tesis.

8.     ¿Existe algún valor c en el que se cumpla que f'(c)=(f(4)-f(0.5) / (4-0.5)  ?. En el caso de que exista, determinar su valor.

9.     ¿Se puede aplicar el Teorema del valor medio en el intervalo [0.5 , 4]?

10.  ¿Existe alguna contradicción entre los apartados 8 y 9?

11.  Encontrar un intervalo en el que se pueda aplicar el Teorema del valor medio, obteniéndose el valor 1.75 para c.