Torricellis Trompete ::: Unterricht mit MMS

Autor:: Reinhard Schmidt

Thema:: Integral, Oberfläche, Volumen

Kurzinformation

Qualifikationsphase Mathematik
Funktionen und Analysis
Rotationskörper
Ziel: Die Lernenden üben die Berechnung von Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern kennen und begründen, warum ein endlicher Körper eine unendliche Oberfläche haben kann.
Dauer: 90-120 Minuten
SchülerInnenmaterial: https://www.geogebra.org/m/ardnqznd

Vorwissen und Voraussetzungen

Die SchülerInnen...

verwenden GeoGebra (Grafikrechner oder CAS), um den Wert eines bestimmten Integrales zu ermitteln,
bestimmen die Stammfunktion zu mit .
ermitteln Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern mithilfe von bestimmten Integralen.

Erwartete Kenntnisse der Lehrperson:

Die Lehrperson sollte die Besonderheiten von Torricellis Trompete kennen. Bei Julian Havil (2009) oder bei verschiedenen Quellen im Internet wird das Paradoxon beschrieben.
Die Lehrperson kennt die Formeln von Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern.
Die Lehrperson kann den Schwierigkeitsgrad der zu berechnenden Integrale einschätzen und wählt dementsprechend für die Lerngruppe die händische Berechnung oder die Berechnung via Grafikrechner oder via CAS.
Die Lehrperson kennt die Befehle für die Berechnung von Wurzeltermen und bestimmten und unbestimmten Integralen mit GeoGebra.

Lernergebnisse und Kompetenzen

Kompetenzen, die durch den Materialeinsatz aufgebaut werden können:

erläutern und vollziehen den Übergang von einem Rotationskörper endlicher Länge zu einem Rotationskörper unendlicher Länge auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs,
berechnen uneigentliche Integrale und deuten diese im Kontext,
verwenden je nach Problemstellung den Grafikrechner oder CAS von GeoGebra, um Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern zu bestimmen und reflektiern den Einsatz.

Didaktische Hinweise zur Aufgabe

...

Veränderungsvorschläge / Zusätze im Material

Weitere Variationen in der Grundaufgabe
Umformulierung der Aufgaben
Erweiterung für die Starken

Aktivität 1 | Rote Trompeten (30 min)

Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/rzpguxxf Hier wird den Lernenden ein induktiver Zugang zu dem Paradoxon eröffnet. Die Unendlichkeitsproblematik soll zunächst noch keine Rolle spielen. Der Rotationskörper wird jedoch bereits kennengelernt und untersucht, und die Berechnungen für Volumen und Oberfläche werden in diesem endlichen Fall ein ersten Mal durchgeführt. Die Berechnung der Oberläche erfordert bei händischer Berechnung partielle Integration und Substitution, daher wird hier das CAS angeboten. In Abhängigkeit von den Vorkenntnissen hinsichtlich der Bedientung des CAS sind hier weitere Erläuterungen notwendig, nur die wichtigsten Eingabehinweise werden vorgegeben.

Aktivität 2 | Eine kleine Fläche? (Exkurs, 20 min)

Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/uhk72vse Hier werden die Lernenden, sofern noch nicht zuvor im Unterricht geschehen, erstmals mit einem uneigentlichen Integral konfrontiert. Zugleich wird eine erste Reflexion über das Unendliche angeregt. Dieser Exkurs kann bewusst dazu eingesetzt werden, den kognitiven Konflikt zwischen unendlicher Länge und begrenztem Volumen noch stärker aufzubauen, weil die (unendliche!) Fläche zwischen dem Graphen von

mit

und der

-Achse der halbe Querschnitt von Torricellis Trompete (die dennoch ein endliches Volumen besitzt) ist.

Aktivität 3 | Torricellis Trompete (30 min)

Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/mdxpdbek und https://www.geogebra.org/m/vgaycftb In dieser Aktivität soll zunächst das Volumen von Torricellis Trompete zunächst numerisch angenähert und dann durch Berechnung des Integrals exakt bestimmt werden. Es ist intendiert, dass der kognitive Konflikt zwischen unendlicher Länge und begrenztem Volumen im Unterricht thematisiert und (soweit möglich) aufgelöst wird.

Aktivität 4 | Torricellis Trompete bunt anmalen (45 Minuten)

Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/uehpq8ve und https://www.geogebra.org/m/czdxxmke In der ersten Aktivität wird nun nach dem Volumen auch die Oberfläche von Torricellis Trompete berechnet. Dass nicht nur die Länge, sondern auch die Oberfläche des Rotationskörpers unendlich ist, das Volumen aber endlich, ist noch verblüffender. Dass dies mit unserer Intuition kaum noch in Einklang zu bringen ist, wird im zweiten Arbeitsblatt ("Unglaublich, aber wahr") deutlich gemacht. Zur Diskussion steht dort die bekannte Paradoxie: Es benötigt nur endlich viel Farbe, um die Trompete vollständig zu füllen, aber es benötigt unendlich viel Farbe, um sie vollständig anzumalen.

Sicherung / Hausaufgabe

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Probleme und Lösungsmöglichkeiten

Torricelli konnte die Entdeckungen, die er gemacht hatte, selbst kaum glauben; in seiner Zeit löste die Entdeckung rege Diskussionen zwischen den besten Denkern der Zeit, mitunter einen regelrechten Schock (Havil 2009, S. 82) aus. Das in Torricellis Entdeckung steckende Paradoxon ist für viele Lernende sicherlich nicht leicht aufzulösen.
Ausblick: Im Anschluss kann der von Christiaan Huygens und René François Walther de Sluze entdeckte Rotationskörper untersucht werden, der zwar eine endliche Oberfläche, aber ein unendliches Volumen besitzt. Dieser entsteht durch Rotation aus der Kissoide.

Literaturangaben / Quellen

Havil, Julian (2009): Verblüfft. Mathematische Beweise unglaublicher Ideen. S. 79-87.