Funkce a posloupnosti

Příklad 1

Pomoci posuvníků napište obecný předpis kvadratické funkce f(x):
  1. Popište co konkrétně posuvníky mění.
  2. Určete graficky kořeny kvadratické rovnice f(x)=0.
  3. Napište rovnici osy funkce.
  4. Pro libovolné x dohledejte jeho funkční hodnotu, vytvořte bod A o souřadnicích xA, f(xA).
  5. Určete a nakreslete graf derivace funkce f.
  6. Určete derivaci funkce f v bodě xA .
  7. Napište rovnici tečny t grafu funkce v bodě A a sestrojte ji.
  8. Pomoci příkazu Spád zobrazte graficky hodnotu derivace v bodě A, určete korespondující goniometrickou funkci vzhledem k tečně t a osám grafu.
  9. Sestrojte graficky kolmici k v bodě A k tečně t a najděte její průsečík N s osou grafu funkce.
  10. V grafu určete rozdíl y-ových souřadnic bodu N a bodu A. Čemu odpovídá?
  11. Zobrazte graf primitivní funkce F k funkci f, pozorujte změny při manipulaci s posuvníky.
  12. Určete integrál funkce na intervalu mezi body xA a xB .
  13. Zobrazte grafy funkcí f+f, f^2, F-f, f/F, 3f ...

Příklad 2

Je dán pravoúhelník s obvodem o. Určete pomoci diferenciálního počtu a znázorněte, kdy má pravoúhelník největší obsah.

Příklad 3

Je dána polynomická funkce 7. stupně. Napište její předpis tak aby:
  1. její graf měl 7 průsečíků s osou x
  2. její graf měl 6 průsečíků s osou x
  3. její graf měl 5 průsečíků s osou x
  4. její graf měl 4 průsečíky s osou x
  5. její graf měl 3 průsečíky s osou x
  6. její graf měl 2 průsečíky s osou x
  7. její graf měl 1 průsečíků s osou x
  8. její graf měl 0 průsečíků s osou x
  9. její graf měl průsečíky s osou x v bodech 0,1,2,3,4,5,6

Příklad 4

Vytvořte grafy následovných posloupností pro dostatečný počet členů. U všech odhadněte limitu, monotonii a konvergenci.
  1. {1/n}
  2. {sin(n)/n}
  3. {(1+(-1)^n)/2}
  4. {a^n}
  5. {2^n/n!}
  6. navrhněte vlastní konvergentní posloupnost, která obsahuje podíl a odmocninu
  7. navrhněte vlastní divergentní posloupnost, která obsahuje faktoriál