Théorème de Guinand
On note G le centre de gravité d’un triangle, H son orthocentre, I le centre de son cercle inscrit et O celui de son cercle circonscrit. Euler démontra que pour un triangle non équilatéral les points O, G et H sont alignés et résolut le problème de la construction d’un triangle dont les centres O, G et I sont donnés. En 1984 Guinand prouva que Ie point I est toujours à l’intérieur du cercle de diamètre [GH], le cercle orthocentroïdal, et étudia le lieu des points I tels que le triangle de centres O, G, I ait un angle de mesure donnée.
Ici les points O, G et H sont donnés et le point I peut être déplacé dans le cercle orthocentroïdal (de centre o). On a construit le triangle ABC dont les centres sont O, G et H et I. Lorsqu’on rapproche le point I du milieu N de [oG] les angles de ce triangle tendent vers 60°, mais les longueurs de ses côtés croissent jusqu’à l’infini. C’est pour cette raison que ce triangle n'est pas affiché et qu'il est ramené dans le cercle orthocentroïdal via une similitude, de façon à ce que sa forme soit toujours visible à l’écran. J’ai ajouté les centres o, g, h et i du triangle image abc pour aider à faire le lien avec le triangle ABC. Le nombre k indique quant à lui combien de fois le triangle ABC a été réduit. Les courbes tracées sont les lignes d’angle constant : à tous les centres appartenant à une telle ligne correspondent des triangles ayant un angle de même mesure. En cochant la case correspondant à un angle vous rendrez le point I solidaire de la courbe associée.
Références Euler Lines, Tritangent Centers, and Their Triangles, Andrew P. Guinand, 1984 Fundamental invariants of triangle, Paris Pamfilos, 2021