Osnova
Аксіоми геометрії (Гільберт)
Аксіоматика Гільберта - система аксіом евклідової геометрії, запропонована німецьким математиком Давидом Гільбертом у 1899 році як більш повна, ніж система аксіом Евкліда.
Неозначуваними (базовими) поняттями в системі аксіом є точка, пряма та площина. Є також три елементарні відношення:
Аксіоми порядку
Аксіоми конгруентності
Аксіома паралельності
Аксіоми неперервності
- Лежати між (стосується точок);
- Належати (стосовно точок і прямих, точок і площин, прямих і площин);
- Конгруентність (геометрична рівність; стосується відрізків, кутів, трикутників тощо).
- Аксіоми належності
- Планіметричні
- Якими б не були точки А та В, існує пряма α, якій належать ці точки.
- Якими б не були дві різні точки А та В, існує не більше однієї прямої, якій належать ці точки.
- Кожній прямій α належать принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, що не належать одній прямій.
- Планіметричні
- Стереометричні
- Якими б не були три точки А, В та С, що не належать одній прямій, існує площина α, якій належать ці три точки. Кожній площині належить принаймні одна точка.
- Якими б не були три точки А, В та С, що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, якій належать ці три точки.
- Якщо дві різні точки А та В, що належать одній прямій l, належать деякій площині α, то кожна точка, що належить прямій l, належить вказаній площині.
- Якщо існує одна точка А, яка належить двом площинам α та β, то існує принаймні ще одна точка В, яка належить обом цим площинам.
- Існують принамні чотири точки, які не належать одній площині.
- Якщо точка В прямої α лежаить між точками А та С, то А, В та С - різні точки прямої, причому В лежить також між точками С та А.
- Для довільних двох різних точок А та С, на прямій, що ними визначається, існує принаймні одна точка В, що лежить між точками А та С, та існує принаймні одна точка D, така що точка С лежить між точками А та D.
- Серед довільних трьох точок, які лежать на одній прямій, існує не більше однієї точки, яка лежить між двома іншими.
- Аксіома Паша. Якщо у довільній площині дано трикутник АВС і довільну пряму, що не проходить через одну з його вершин і перетинає сторону АВ, то ця пряма неодмінно перетне одну з двох інших сторін АС чи ВС.
- Якщо А та В - дві точка прямої l, А' - точка на цій же прямій чи на іншій прямій l', то по задану від точки А' сторону прямої l' знайдеться, і до при цьому лише одна, точка В', така що відрізок А'В' конгруентний відрізку АВ. Кожен відрізок АВ конгруентний відрізку ВА.
- Якщо відрізки А'В' та А"В" конгруентні одному і тому ж відрізку АВ, то вони конгруентні між собою.
- Нехай АВ та ВС — два відрізки прямої α, які не мають спільних внутрішніх точок, А’B’ и B’C’ — два відрізки тієї ж прямої чи іншої прямої α', які також не мають спільних внутрішніх точок. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А’B’, а відрізок ВС конгруентний відрізку B’C’, то відрізок АС конгруентний відрізку А’C’.
- Якщо дано кут ∠ABC та промінь B’C', що лежить в площині даного кута, то існує рівно два промені B’D та B’E, які також лежать в площині даного кута, такі, що ∠DB’C' конгруентний ∠ABC та ∠EB’C' конгруентний ∠ABC.
- Якщо для двох трикутників ABC та A'B'C' мають місце конгруенції: AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', ∠BAC ≅ ∠B'A'C', то завжди мають місце й конгруенції: ∠ABC ≅ ∠A'B'C', ∠ACB ≅ ∠A'C'B'.
- Нехай α — довільна пряма і A — точка, що їй не належить; тоді в площині, яка визначається точкою А й прямою α, можна провести не більше однієї прямої, яка проходить через A і не перетинає α.
- Аксіома Архімеда. Нехай А1 — довільна точка на прямій між довільними точками А та В. Побудуємо точки А2, А3, А4, ... так, що точка А1 знаходиться між точками А та А2, А2 між А1 та А3, А3 між А2 та А4 і т.д., при цьому відрізки АА1, А1А2, А2А3, А3А4, . . . рівні між собою. Тоді зажди існує така точка Аn, що точка В лежить між А та Аn.
- Аксіома повноти. Точки прямої (площини) утворюють таку систему точок, яку неможливо доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом.
