Paradoxon von Bertrand

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Sehne des Einheitskreises länger als eine Seite eines in diesen Kreis eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks ist?
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Variante 1

Jede Sehne lässt sich eindeutig durch ihren Mittelpunkt angeben (die Sehne wird dann normal zur Verbindungslinie mit dem Kreismittelpunkt gebildet). Der Mittelpunkt P der Sehne wird durch die kartesischen Koordinaten (x,y) angegeben. Der Ereignisraum Ω1 ist auf diese Weise durch gegeben. Ereignis A1: Die gewählte Sehne ist größer als die Dreiecksseite; Die Wahrscheinlichkeit für A1 beträgt . Aufgabe Bewege den Punkt P und die obere Spitze des Dreiecks, um dich mit der Problemstellung vertraut zu machen. Zeige die Simulation an.

Variante 2

Der Mittelpunkt der Sehne kann auch durch seine Polarkoordinaten (r; φ) angegeben werden. Der Ereignisraum Ω2 ist auf diese Weise durch gegeben. Ereignis A2: Die gewählte Sehne ist größer als die Dreiecksseite; Die Wahrscheinlichkeit für A2 beträgt . Aufgabe Bewege den Punkt P und die obere Spitze des Dreiecks. Zeige die Simulation an.

Variante 3

Die Sehne kann auch durch einen Punkt am Rand des Kreises (d. h. durch die Bogenlänge b) und einem Winkel α zur Tangente angegeben werden. Der Ereignisraum Ω3 ist auf diese Weise durch gegeben. Ereignis A3: Die gewählte Sehne ist größer als die Dreiecksseite; Die Wahrscheinlichkeit für A3 beträgt . Aufgabe Bewege den Punkt P und die obere Spitze des Dreiecks sowie den Schieberegler für den Winkel α. Zeige die Simulation an.
Das Paradoxon besteht darin, dass es - je nach Wahl der Sehne - verschiedene Wahrscheinlichkeiten gibt. Die Ursache liegt dabei in der Tatsache, dass die zufällige Auswahl einer Sehne nicht genau vorgegeben wird.