Fourier-Reihen periodischer Funktionen

In diesem Abschnitt betrachten wir periodische Funktionen bei der Suche nach Reihen aus Sinus- und Kosinustermen, die diese Funktionen beschreiben. Solche Reihen kann man durchaus als ein Spektrum auffassen. Im Applet können Sie eine Grundfrequenz wählen. Das Spektrum enthält dann Vielfache von . Mit n wählen Sie die Anzahl dieser Vielfachen. Die grafische Darstellung zeigt das Originalsignal im Vergleich zur Annäherung durch die ersten Folgeglieder der Reihe.

Hier befassen wir uns mit dem einfachen Fall, dass eine periodische Funktion mit der Periode vorliegt. Wir stellen uns vor, die gegebene Funktion ließe sich tatsächlich durch eine Reihe beschreiben. Die tatsächliche Existenz solcher Reihen setzen wir hier ohne Beweis voraus. Das wäre dann im Ergebnis . Die Summanden der Reihe sind dabei die Teilschwingungen, die zusammen das zeitabhängige Signal bilden. Diese Schwingungen haben jeweils die Amplituden . Wenn wir zulassen, dass die komplex sind, beschreiben sie nicht nur die reelle Amplitude, sondern auch die Phasenlage der Teilschwingungen zueinander. Wir verschaffen uns so eine starke Verringerung des Aufwandes gegenüber der Verwendung von Winkelfunktionen und den dann nötigen Additionstheoremen. Ist nun die Funktion f im Intervall bekannt, besteht die Aufgabe darin, die Amplituden zu bestimmen. Das Integral, Welches wir gleich bilden, wird zunächst unbegründet erscheinen. Sie werden aber schnell sehen, dass wir damit zu einem sinnvollen Ergebnis finden. Das Integral ist . Schauen wir uns ein einzelnes Folgeglied an: . Dieses ist für null. Ist , integrieren wir lediglich über 1 im Intervall . Das Folgeglied ist dann somit . Damit verschwinden im Integral alle Summanden, außer demjenigen mit dem Index . Es folgt und nach Umformung

.

Das ist die gesuchte Formel zur Bestimmung der Amplituden. Bevor wir uns den Beispielen zuwenden, möchte ich eine Erweiterung erwähnen, die wir hier nicht weiter beleuchten, aber im nächsten Abschnitt verwenden werden: Man kann die Frage stellen, ob sich das Verfahren auch für nichtperiodische Funktionen erweitern lässt. Das erreicht man dadurch, dass man den gesamten Definitionsbereich als eine Periode auffasst. Dadurch gehen die diskreten Werte in die kontinuierliche Kreisfrequenz über. Das Ergebnis ist die Fouriertransformation , eine Funktion, die der Kreisfrequenz bei gegebener Zeitabhängiger Funktion die komplexen Amplituden zuordnet. Die Transformationsvorschrift ist . Die Rücktransformation erfolgt mit . Nun aber zu den Beispielen: Rechteck Das Rechtecksignal ist eines der wichtigsten unter den periodischen Signalen. Es spielt in der Digitaltechnik als Impulsgeber eine zentrale Rolle. Durch den Spannungssprung an seinen Flanken lässt sich jeder Computer steuern. In den meisten gewöhnlichen Haushaltsuhren erfolgt die Zeitmessung über eine Rechteckschwingung mit einer Frequenz . Eine mögliche Funktion für ein Rechtecksignal ist . Die Koeffizienten sind somit

.

Die Folge besteht also nur aus den ungeraden Koeffizienten. Bewegen Sie den Schieberegler für n und vergleichen Sie Original- und angenähertes Signal auch akustisch. Dreieck Sowohl das Dreiecks- als auch das Sägezahnsignal lässt sich im Wesentlichen durch beschreiben. So bilden wir zuerst das unbestimmte Integral gleich für beide Beispiele. Im Fall des Dreieckssignals addieren wir die Anteile für und und erhalten

.

Auch hier finden wir nur die Folgeglieder für ungerade in der Reihe. Zudem sehen Sie, dass die Periode im Term enthalten ist. Das liegt daran, dass mit wachsender Periodenlänge auch die Funktionswerte an den Intervallgrenzen wachsen. Sägezahn Hier ist über die gesamte Periode hinweg. Die Amplituden sind damit

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Damit haben wir drei der möglichen Signalformen spektral analysiert. Im nächsten Abschnitt werden wir schauen, wie die Spektren beliebiger Signale bestimmt werden können.