As Equações Diofantinas Lineares
Introdução
Muitos problemas cotidianos se ocupam na determinação de quantidades inteiras tais como o número de alunos e alunas do curso de Lógica, ou o número de patas de carneiros e galinhas de um quintal. Esses problemas são denominados problemas Lineares indeterminados e nós iremos apresentar uma possível solução através das Equações Diofantinas Lineares.
Problema Motivador
Roberto tem em sua carteira cédulas de R$ 2,00 e R$ 5,00. Ele deseja pagar R$ 26,00 por uma refeição no restaurante da faculdade. De quantas maneiras distintas, utilizando pelo menos uma cédula de cada tipo das que constam na carteira de Roberto, podemos pagar a refeição? e quais são elas? Modelando matematicamente o problema: vamos chamar de a quantidade de cédulas de R$ 2,00 e de a quantidade de cédulas de R$ 5,00. Assim, teremos a equação: Este tipo de equação representa um grupo de equações especiais que iremos definir a seguir.
Definição
Uma equação diofantina linear em duas variáveis é uma expressão da forma na qual e são inteiros, com e não simultaneamente nulos e cujas soluções estão restritas ao conjunto dos números inteiros.
Resolução de Equações Diofantinas Lineares
Uma solução desse tipo de equação é um par de inteiros tal que Por exemplo, a equação do problema motivador tem como solução particular o par de inteiros . De fato,
Proposição: A equação diofantina linear admite solução inteira se, e somente se, o máximo divisor comum entre e divide . Demonstração: seja . Se , então existe um inteiro tal que ; além disso, existem inteiros e tais que . logo, e por tanto, é uma solução da equação. Reciprocamente, suponhamos que seja uma solução da equação, isto é: . Como e , então .