Jordan-Normalform Hauptvektoren 1.+2.Stufe R5x5
Vollständige Hauptvektorsuche
Kochen mit Jordan(pdf)danielwinkler
A:={{5,-1,-3,2,-5},{0,2,0,0,0},{1,0,1,1,-2},{0,-1,0,3,1},{1,-1,-1,1,1}}
(8) EW:={2,3} zwei Eigenwerte
(9) DimEigenraum :={2,1} 2 Basisvektoren/Eigenvektoren zu λ=2, 1 Basisvektor/Eigenvektor zu λ=3
(14) EVi:={{1, 0, 1, 0, 0}, {2, 1, 0, 0, 1}, {-1, 0, 0, 1, 0}} 2+1 Eigenvektoren berechnet (zeilenweise geschrieben)
Hauptvektorsuche
HV∈(A-λE)N ∧ dim(kern(A-λE)N)=n ∧ HV∉Kern(A-λE)N-1 ∧ dim(Kern(A-λE)N-1)=k Anzahl Jordanblöcke
(19) LGHV1:=(A-λE)^N Wähle die Potenz N so, daß dim(Kern( (A-λE)N)=n entsprechend viele Kandidaten hat (5)
(20) LHV1:=Solutions(LGHV1 X,X)
(21) HVKandidaten1 3 Stück der 1. Stufe
(22) KernHV1:=(A-λE)N-1HVKandidaten1 Kandidaten landen im Kern ({0} Vektor) ==> scheiden aus - in diesem Fall Kandidat1+3! Der verbliebene Kandidat landet auf dem 1.Eigenvektor ==> es kann nur ein Jordanblock aus der 1. Stufe herausgezogen werden, ergänzt durch EVi2 ==> ergibt N=3 HVs,
(25) HV12:=(A-λE) HVKandidaten1 HV122 enthält den HV
(24) HV11:=(A-λE) HV1u2 trägt nichts bei ==> setze EV12 ein
Damit ist die 1. Stufe abgeschlossen { HV122, HVKandidaten12} enthalten mögliche Hauptvektoren für den ersten Jordanblock. Als HV fasse ich alle Vektoren einer Spalte zusammen. z.B hv1=2
(31) T={EVi2, HV122,HVKandidaten12,...}
(25) LHV2=Solutions((A-λE)^(N-1) X=0,X)
das oben beschriebene Verfahren für (A-λE)N wird nun der 2.EW für (A-λE)N-1 = (A-λE)^2 durchgeführt
(26) HVKandidaten2 enthält Kandidaten für hv2=spalte der möglichen HVs des 2. EW
(27) HV21:=(A-λE) HVKandidaten2 trägt nichts bei ==> EVi3
(HV2w123 zeigt das HVKandidaten223 linear abhängige HV sind - es sind keine höheren Potenzen von (A-λE) zu betrachten)
(31) T={EVi2, HV122, HVKandidaten12, EVi3, HVKandidaten22}
JordanNormalform R5 2EV+HV1.Stufe MinPoly
Beispiel 2 stufige HV-Suche
A:={{1,-2,0,-1,2},{1,-3,-1,0,3},{0,2,1,-1,-3},{1,0,0,-1,-2},{0,-1,0,0,2}}
3 Hauptvektoren höchster Stufe aus Kern(A-E)3
2 Hauptvektoren zweiter Stufe aus Kern(A-E)2
(8) Eigenwerte:={0} einziger Eigenwert
(9) DimEigenraum :={2} 2 Basisvektoren/Eigenvektoren
(14) EVi:={{{1, 0, 1, 1, 0}, {2, 2, -1, 0, 1}}} 2 Eigenvektoren berechnet (zeilenweise geschrieben)
Hauptvektorsuche
HV∈(A-λE)N ∧ dim(kern(A-λE)N)=n ∧ HV∉Kern(A-λE)N-1 ∧ dim(Kern(A-λE)N-1)=k Anzahl Jordanblöcke
(19) LGHV1:=(A-λE)^N Wähle die Potenz N so, daß dim(Kern( (A-λE)N)=n entsprechend viele Kandidaten hat (5)
(20) LHV1:=Solutions(LGHV1 X,X)
(21) HVKandidaten1:={e1,e2,e3,e4,e5} n Stück der 1. Stufe
(22) KernHV1:=(A-λE)N-1HVKandidaten1 Kandidaten landen im Kern ({0} Vektor) ==> scheiden aus - in diesem Fall Kandidat4! Alle anderen Kandidaten landen auf dem 2.Eigenvektor ==> es kann nur ein Jordanblock aus der 1. Stufe herausgezogen werden der Länge N=3, HVvektoren u1,u2,u3 ==> u3=Kandidat1235
(23) HV1u2:=(A-λE) HVKandidaten1 HV1u21235 enthält die Kandidaten für u2
(24) HV1u1:=(A-λE) HV1u2 HV1u11235 enthält die Kandidaten für u1
Damit ist die 1. Stufe abgeschlossen {HV1u11235, HV1u21235, HVKandidaten11235} enthalten mögliche Hauptvektoren {u1,u2,u3} für den ersten Jordanblock. Als HV fasse ich alle Vektoren einer Spalte zusammen. z.B u=2
(31) T={HV1u12,HV1u22,HVKandidaten12,...}
(25) LHV2=Solutions((A-λE)^(N-1) X=0,X)
das oben beschriebene Verfahren für (A-λE)N wird nun in 2. Stufe für (A-λE)N-1 = (A-λE)^2 durchgeführt
(26) HVKandidaten2 enthält Kandidaten für wi=HVs der 2. Stufe
(27) HV2w1:=(A-λE) HVKandidaten2 Kandidaten für w1 = HV2w1124 ==> für w2 = HVKandidaten2124
(HV2w123 zeigt das HVKandidaten223 linear abhängige HV sind - es sind keine höheren Potenzen von (A-λE) zu betrachten)
u=1,2,3,5, w=1,2,3,4
(31) T={HV1u12,HV1u22,HVKandidaten12, HV2w12, HVKandidaten22}
in Arbeit/at work
Jordan-Normalform
Auszug aus: Wie berechnet man die Jordan'sche Normalform?
Sobald man die Zerlegung des charakteristischen Polynoms pA(λ) in Linearfaktoren hat, kann man die Eigenwerte und die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte direkt ablesen. Die Eigenwerte stehen in der Jordanmatrix auf der Diagonalen. Die algebraische Vielfachheit entspricht der Seitenlänge des quadratischen Jordanblocks.
Anzahl der Jordankästchen bestimmen
Jeder Eigenwert hat genau einen Jordanblock. Jeder Jordanblock hat wiederum Jordankästchen.
Aλi sind die Jordanblöcke zu den Eigenwerten λi. Die Einzelnen Jordanblöcke:
Einzelner Jordanblock mit zwei (rot/blau) Jordankästchen.
Jedes Jordankästchen ist quadratisch, hat auf der Diagonalen den Eigenwert und auf der oberen Nebendiagonale 1er. Sonst sind nur 0er im Jordankästchen. Außerhalb der Jordankästchen sind im Jordanblock nur 0er. Insbesondere können also auf der oberen Nebendiagonalen des Jordanblocks 0er stehen!
Es gilt:
geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ=dimEλ ≤ algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ
dimEλ = dim Kern(A−λ⋅I)=Anzahl der Jordankästchen im Jordanblock zu λ
Außerdem gilt:
Die Größe des größten Jordankästchens zum Eigenwert λi ist gleich der Potenz, mit der der Linearfaktor (x−λi) im Minimalpolynom vorkommt.
Nun kann man häufig schon schlussfolgern, welche Größe die einzelnen Jordankästchen haben.
Zusätzlich haben ähnliche Matrizen die gleiche Spur, die gleiche Determinante und den gleichen Rang. Das könnte helfen um "falsche" Jordanmatrizen auszuschließen.Damit ist die Jordansche Normalform der Matrix häufig schon bestimmt.