Raíces primitivas
El conjunto de números enteros módulo n también se puede ver en la forma de las n-ésimas raíces de la unidad del círculo trigonométrico . En forma exponencial, los denotamos porque es -periódico: para cualquier entero k, .
Vimos que un número entero era generador de los demás cuando era primo con n. Este conjunto se cuenta mediante , la indicatriz de Euler y notamos las raíces primitivas asociadas . Estos son todos los elementos distintos de cero cuando n es primo, pero cuando n no es primo, por lo que tiene divisores , entonces las n-ésimas raíces de la unidad se descomponen en las d-ésimas raíces primitivas para todos los divisores: .
Nótese que cada elemento tiene su propio orden aditivo , es decir, el entero más pequeño tal que . Este orden divide el orden n del grupo aditivo y como , , donde es un entero que representa la clase . Este elemento genera por tanto un subgrupo .
Para n primo, los elementos distintos de cero forman un grupo multiplicativo que tiene elementos. Además, cada elemento distinto de cero tiene un orden multiplicativo que divide a n-1, el orden del grupo, es el pequeño teorema de Fermat: que puede reformularse sobre números enteros, incluso múltiplos de n: .
Cuando n es compuesto, es más complejo, como hemos visto, cada elemento, como raíz n-ésima de la unidad, tiene un orden dado d, y es una raíz d-ésima primitiva , que a su vez puede ser compuesta.