外接四角形と内接四角形
外接四角形の極線で内接四角形ができる。この二つの図はいろいろなことを指し示す。作図して試してみよう。
「対角の和が等しいこと」と「対辺の和が等しいこと」の証明
「対角の和が等しいこと」
∠HGJ＋∠HIJ＝３６０°ー４種の底角
∠GHI＋∠GJI＝３６０°ー４種の底角
よって同じ。
「対辺の和が等しいこと」
AB+CD＝４種の接線
AD+BC＝４種の接線
よって同じ。
見事な双対性を示している。
内接四角形と外接四角形を別々に示して向かい合う辺と角度の関係を示した時、
長さと角度の違いだけど何か関係がありそうだと感じる。
でも、円周角の定理などで証明した時、この二つの四角形の間の関係はわからない。
こうやって並べてみると、二等辺三角形が浮かび上がり、そのつながりも同時に浮かび上がってくる。
この向かい合う４組の辺の４交点は、なんと一直線上にある。
このことを極線を使って証明してみよう。
接線と極線の性質を使えば簡単。