Γ΄Λυκ-Κεφ2-Εξαναγκασμένες και Φθίνουσες ταλαντώσεις
Θεωρούμε σύστημα ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k και σώματος μάζας m, υπό τη επίδραση επιβραδύνουσας δύναμης (οπισθέλκουσα περιβάλλοντος μέσου) και μίας περιοδικής οδηγήτριας δύναμης.
Η συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) που περιγράφει το σύστημα είναι:
Η γενική λύση τής διαφορικής εξίσωσης είναι
όπου είναι η συπληρωματική λύση, η οποία εκφράζει τη μεταβατική κατάσταση τού συστήματος (transient solution) και φθίνει εκθετικά με τον χρόνο, ενώ η αποτελεί τη μερική λύση και εκφράζει την σταθερή κατάσταση τού συστήματος μετά από ικανό χρονικό διάστημα (steady state solution). Η , η οποία αποτελεί ουσιαστικά τη λύση τής αντίστοιχης ομογενούς ΣΔΕ, μπορεί να πέρει τρεις μορφές ανάλογα με την σταθερά απόσβεσης. Ως εκ τούτου, εν την απουσία εξωτερικής περιοδικής δύναμης (μηδενική οδηγήτρια δύναμη) διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: Φθίνουσα ταλάντωση με μικρή (υποκρίσιμη) απόσβεση για . Το σύστημα ταλαντώνεται, όχι με τη φυσική του κυκλική συχνότητα , αλλά με . Για πολύ μικρές τιμές τού οι δύο συχνότητες είναι κατά προσέγγιση ίσες. Κρίσιμη απόσβεση για : Το σύστημα δεν ταλαντώνεται, αλλά επίστρέφει στη θέση ισορροπίας του στον ελάχιστο δυνατό χρόνο. Υπερκρίσιμη απόσβεση για : Το σύστημα δεν ταλαντώνεται, αλλά επίστρέφει στη θέση ισορροπίας του σε μεγαλύτερο χρόνο. Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Όταν στο σύστημα δρα εξωτερική/επιπρόσθετη δύναμη, η οποία προσθέτει ενέργεια στο σύστημα, τόση ανά περίοδο, όση καταναλώνουν οι δυνάμεις ασωτείας (επιβραδυντικές δυνάμεις), τότε το πλάτος τής ταλάντωσης είναι σταθερό, εφόσον η μηχανική ενέργεια τού συστήματος σταθεροποιείται: Μετά από ικανό χρονικό διάστημα από την έναρξη τής ταλάντωσης, οπόταν η προσφορά τής ενέργειας από την οδηγήτρια δύναμη εξισορροπεί σε κάθε περίοδο την απώλεια ενέργειας, το σύστημα φτάνει στην σταθερή κατάσταση. Στην σταθερή κατάσταση, ο ταλαντωτής ταλαντώνεται με τη συχνότητα τής οδηγήτριας δύναμης , με πλάτος ίσο με: Συντονισμός: Όταν η κυκλική συχνότητα τής οδηγήτριας δύναμης ισούται με
,
τότε το πλάτος τής εξαναγκασμένης ταλάντωσης γίνεται μέγιστο και το φαινόμενο ονομάζεται συντονισμός. Κατά τον συντονισμό η οδηγήτρια δύναμη βρίσκεται σε φάση με την ταχύτητα τού σώματος και έτσι η ισχύς που μεταφέρει η οδηγήτρια δύναμη στον ταλαντωτή είναι η μέγιστη. Στην σταθερή κατάσταση, για οποιαδήποτε συχνότητα τής οδηγήτριας δύναμης, η ενέργεια που προσφέρει στο σύστημα η οδηγήτρια δύναμη ισούται με την ενέργεια που μεταφέρει στο περιβάλλον η επιβραδύνουσα δύναμη, ώστε η μέση ενέργεια τού ταλαντωτή να μένει σταθερή, όπως και το πλάτος (). Εάν δεν υπάρχει επιβραδύνουσα δύναμη (), το πλάτος τής εξαναγκασμένης ταλάντωσης σταθερής κατάστασης τείνει στο άπειρο καθώς η συχνότητα τής οδηγήτριας δύναμης τείνει στην ιδιοσυχνότητα τού ταλαντωτή .