Construcció i demostració: Punt de Fermat dins un triangle.
CONSTRUCCIÓ:
- Es traça un triangle equilàter en un dels costats del triangle.
- Es traça la circumferència que circumscriu el triangle.
- Es traça el segment que uneix el vèrtex del triangle equilàter amb el vèrtex oposat al costat.
- La intersecció d'aquest segment i la circumferència defineix el punt de Fermat.
- Definint un punt qualsevol dins el triangle tracem els segments blau, verd i vermell.
- Fem un gir del segment blau i vermell de 60º respecte el vèrtex del triangle que també és extrem del segment blau.
- Formem el triangle equilàter blau.
- Es pot comprovar que la suma de tots tres segments coincideix amb la longitud de la poligonal que va del punt V al vèrtex oposat al costat del triangle original. Així doncs la mínima longitud d'aquesta serà pel segment recte que les uneix.
- Si movem el punt blau de manera que la poligonal se sobreposi a la recta negra (que defineix la mínima distància), deduïm que l'angle vermell, pel fet de ser suplementari a una angle d'un triangle equilàter, ha de ser de 120º. Aquest, però, coincideix amb el groc pel gir aplicat en el punt 2. d'aquesta demostració.
- Essent aquests angles de 120º, els punts de Fermat hauran d'estar sobre les circumferències que inscriuen els triangles, doncs aquestes defineixen l'arc capaç de 120º sobre el segment del quadrilàter.
La bisectriu d'un angle definit per un arc capaç:
En la següent figura tenim definit un arc capaç d'un angle (indicat en verd).
S'ha traçat la bisectriu
Demostrem per què:
Els dos angles vermells han de ser iguals, doncs estan damunt un mateix arc capaç definit pel segment vermell. De forma equivalent han de ser iguals els angles verds.
Però els angles vermell i verd també han de ser iguals pel fet d'estar a banda i banda de la bisectriu. Per tant el triangle format pels segments verd i vermell és isòsceles, per tant el punt negre ha de ser el central de l'arc.
Això ens permet demostrar que tots els angles al voltant dels punts de Fermat han de ser de 120º:
Recuperem el primer applet. Els punts dels triangles equilàters són precisament els punts centrals de l'arc capaç oposat al de 120º. Per tant el segment que els uneix en serà la bisectriu. Això comporta que els altres dos angles han de ser iguals i, per tant, seran també de 120º.