Vielfachheit von Nullstellen
Eine Funktion von Grad n hat höchstens n Linearfaktoren und somit höchstens n verschiedene Nullstellen. Eine Funktion von Grad 3 kann also auch nur 2 verschiedene Nullstellen haben. Das ist dann der Fall, wenn eine der beiden Nullstellen beim Berechnen mehrfach vorkommt.
Beispiel: 1) durch Probieren finden wir die Nullstelle
Polynomdivision:
Berechnung der weiteren Nullstellen: mit der Mitternachtsformel:
Hier kommt also die 1 ein zweites Mal als Nullstelle vor. Man spricht von doppelter ode zweifacher Nullstelle. In der Linearfaktorzerlegung muss der entsprechende Linearfaktor auch zweimal aufgeführt werden:
An der Linearfaktorzerlegung erkennt man also eine doppelte Nullstelle am Exponenten des entsprechenden Linearfaktors.
Beispiel: 2) Wir betrachten die folgende Funktion in Linearfaktorzerlegung:
Wir sehen, dass eine einfache, eine dreifache und eine doppelte Nullstelle von f ist.
Beispiel: 3) Wir betrachten die folgende Funkton in Linearfaktorzerlegung
Wir sehen, dass eine doppelte Nullstelle ist (beachte: lässt sich umschreiben zu ) und eine einfache Nullstelle ist.
Das Aussehen von mehrfachen Nullstellen am Graph
Man kann auch am Graphen einer Funktion eine mehrfache Nullstelle erkennen.
Im folgenden ist eine Funktionsgleichung in Linearfaktorform fünften Grades gegeben. Die Nullstellen könnt ihr mithilfe der Schieberegler ändern.
a) Stelle zuerst die Schieberegler auf fünf verschiedene Nullstellen ein. Mache dir Notizen, wie der Graph an den Nullstellen verläuft, ob er oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft.
b) Verschiebe nun eine der Nullstellen so, dass sie mit einer anderen zusammenfällt, also eine doppelte Nullstelle entsteht. Mache wieder Notizen über den Verlauf um die Nullstelle.
c) Verschiebe nun die Nullstellen so, dass du auch eine drei- vier- und fünffache Nullstelle erhältst. Mache wieder Notizen.
d) Fasse deine Beobachtungen über den Verlauf des Graphen an den Nullstellen zusammen. Welche Regelmäßigkeiten lassen sich erkennen? Unterscheide dazu zwei Fälle.