Provocare cinematică
A, B, C, D se găsesc pe o dreaptă, în această ordine, în mişcare, cu viteze constante şi toate diferite. A, B și C se deplasează spre D, iar D spre ele. Pentru început, A este o la distanță în spatele lui B, care se află în spatele lui C, iar D este mult mai departe, venind spre ele.
A a trecut de B la 8 A.M. și de C la 9 A.M. și a fost primul care l-a întâlnit pe D, la 10 A.M. D s-a întâlnit cu B la prânz, iar cu C la 2 P.M.
a) Când a trecute B de C?
b) Aceeaşi întrebare, dacă A a trecut de B la 8 A.M. și de C la 9 A.M. și a fost primul care l-a întâlnit pe D, la 10 A.M. D s-a întâlnit cu B la 1 P.M., iar cu C la 8 P.M.
Soluţia 1
Vom încera să 'puşcăm amâdoi iepurii, deodată...
Fie a, b, c, d vitezele cu care se deplasează A, B, C şi respectiv D, iar
, orele la care se întâlnesc, A şi B, A şi C, A şi D, B şi D şi respectiv C şi D.
Vom considera drept referinţă pentru calcule, punctul "" în care A şi B se întâlnesc la ora , în poziția . La această oră, C se află în poziţia , iar D în .
Urmează:
- ora , la care A trece de C, în punctul , după de A parcurge distanţa , iar C ;
- ora , la care A trece de D, în , după ce A a parcurs , iar D, ;
- ora , la care B trece de D, în , după ce B a parcurs , iar D, ;
- ora , la care C trece de D, în , după ce C a parcurs , iar D, .
Durli a ţinut să participe şi el la această dezbatere cu o simulare şi o soluţie
În desenul de mai sus, liniile verzi reprezintă spaţiile parcurse de punctele, A, B, C şi D, după cunoscuta regulă,
.
Pe verticală e reprezentat spaţiul, iar pe orizontală, timpul. Dreptele verticale, marchează orele de întâlnire, iar punctele F,G şi H, punctele de întâlnire între A şi B, C si respectiv D. Se pot muta pe verticală, determinând schimbarea unor viteze şi deci spaţii, fără a aduce vreun prejudiciu rezultatului final. Modificând orele de întâlnire, se schimbă rezultatul final.
Pentru că vitezele de deplasare sunt diferite, punctele F, G şi H sunt necoliniare (formează un triunghi). În cazul orelor de întâlnire din cazul a), (respectiv, 8, 9, 10, 12, 14) 9 este medie aritmetică între 8 şi 10, iar 12, medie aritmrtică între 10 şi 14. Asta vrea să zică, geometric, că FI şi HJ sunt mediane în triunghiul FGH, iar K (punctul de întâlnire dintre B şi C) este intersecţia lor (centrul de greutate al triunghiului, care va să zică). Păi, din vremi străvechi, de la egipteni şi greci, se ştie că, acesta, K, se găseşte la 1/3 din mediană, faţă de bază şi la 2/3 de vârf, pe orice mediană. Aceleaşi relaţii au loc şi între coordonatele punctelor, pe fiecare axă.
Să luăm mediana FI. Proiecţia ei pe orizontală (axa timpului) are lungimea 12 - 8 = 4. Prin urmare
=10:40 AM.
În cazul general, cu orele de întâlnire , ore la care se întâlnesc, A şi B, A şi C, A şi D, B şi D şi respectiv C şi D, cheia soluţiei va fi dată de repoartele în care împart
.
Să presupunem că
, cu 0 < u și v < 1. (0)
În aceste condiții, avem relații asemănătoare pentru J și I,
.
Pentru K vom avea, pentru segmentele FI și HJ,
, cu o < x și y < 1. Înlocuind J și I cu expresiile de mai sus,
obținem,
, de unde rezultă, grupând după F, G
și H,
.
Deoarece, F, G, și H sunt necoliniare, parantezele trebe musai să fie zero, de unde și egalitățile (cu ajutorul cărora vom afla x și y),
(1)
(2)
(3)
Din (1) si (2) aflăm că,
.
Pe cale de consecință,
,
iar pentru coordonatele de pe axa orizontală,
,
sau încă (pentru a ușura calculele și compararea cu formula de la soluția 1),
. (4)
Din (0) exprimăm u si v astfel,
.
Înlocuind în (4) aceste u si v cu aceste formule, cu răbdare și perseverentă, se poate și cu CAS, în Geogebra, (de ce nu?) ajungem la finalizarea,
.
Evrica, a ieșit la fel!
Ce s-ar întâmpla dacă F, G şi H ar fi coliniare, sau unele viteze ar fi egale? Situații simple, interesant de comentat! Succes!
Bunica & Durli