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Lagebeziehung zweier Ebenen

Autor:Manuel Garcia Mateos

Wie können zwei Ebenen zueinander verlaufen?

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Gib zwei Ebenen in Koordinatenform an, die identisch sind. Wie gehst du vor? Stelle die Ebenen in GeoGebra dar.

Gib zwei Ebenen in Koordinatenform an, die parallel zueinander sind. Wie gehst du vor? Stelle die Ebenen in GeoGebra dar.

Gib zwei Ebenen in Koordinatenform an, die sich schneiden. Wie gehst du vor? Stelle die Ebenen in GeoGebra dar.

Was ergibt sich als Schnittgebilde bei den beiden Ebenen? Verwende das entsprechende Werkzeug, um das Schnittgebilde zu erzeugen.

Was kannst du bei den verschiedenen Lagebeziehungen über die Normalenvektoren aussagen? Beschreibe eine mögliche Vorgehensweise, um die Lagebeziehungen zweier Ebenen zu bestimmen.

Tipp: Folgende Befehle könnten hilfreich sein:
  • Normalvektor(e) erzeugt einen Normalenvektor zur Ebene e
  • Verschiebe(u,P) verschiebt einen Vektor zum Punkt P
  • Verschiebe(P,u) verschiebt einen Punkt P um einen Vektor
  • Normalebene(P,n) erzeugt die Koordinatenform einer Ebene mit einem Aufpunkt P und einem Normalenvektor

Expertenaufgabe

Wenn sich zwei Ebenen schneiden, dann entsteht eine Gerade. Die Gleichung der Gerade erhältst du, indem du ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten löst. Das ist nur dann möglich, wenn du eine Unbekannte mit einem Parameter(wert) belegst. Das folgende Beispiel soll es aufzeigen. Gegeben sind die Ebenen und . Wir setzen z. B. und erhalten dann die beiden Gleichungen und . Addiert man beide Gleichungen, so fällt weg und man erhält , woraus nun folgt, dass ist. Einsetzen von und in die zweite Ebene liefert nun . Nachdem man durch 2 dividiert hat, erhält man . Es ergibt sich die Gleichung . Den Richtungsvektor darf man mit 2 multiplizieren und man erhält endgültig die Geradengleichung .

Bestimme durch Rechnung die Schnittgerade der beiden Ebenen. Kontrolliere dein Ergebnis. Was passiert, wenn du oder setzt?

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