Pontos notáveis no triângulo

Divisões de um triângulo

O triângulo é uma figura muito estudada na geometria, por suas propriedades únicas. Uma delas é a propriedade das várias formas de divisão que o triângulo pode ter, e são referentes à:

Altura: segmento de reta que une a base com o vértice oposto formando um ângulo reto;
Bissetriz interna: segmento de reta que une a base com o vértice oposto, dividindo esse ângulo em duas partes iguais;
Mediana: segmento de reta que une o ponto médio da base com o vértice oposto;
Mediatriz: reta relativa a um segmento, que é perpendicular em seu ponto médio.

Na figura a seguir, a altura e a mediatriz são relativas ao lado AC; a bissetriz e a mediana são relativas ao lado BC. Observe o comportamento destes elementos em diferentes triângulos ABC, movendo os vértices A, B e C.

Pontos notáveis de um triângulo

Cada um desses tipos de segmentos produz divisões do triângulo e, junto com seus prolongamentos, as interseções deles resultam em um ponto. Esse ponto é chamado de PONTO NOTÁVEL. A rigor temos cinco pontos notáveis de um triângulo:

Circuncentro: interseção das mediatrizes;
Baricentro: interseção de medianas;
Ortocentro: interseção das alturas;
Incentro: interseção das bissetrizes dos ângulos internos;
Exincentro: interseção da bissetriz de um ângulo interno e duas bissetrizes dos ângulos externos não-adjacentes a ele.

A seguir, apresentaremos os quatro pontos notáveis mais conhecidos.

CIRCUNCENTRO de um triângulo

As mediatrizes de um triângulo são as retas perpendiculares a cada lado do triângulo, traçadas pelo ponto médio desse lado. A interseção das três mediatrizes resulta no ponto O do triângulo, ou seja, seu circuncentro. O circuncentro é o centro da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo, ou seja, o circuncentro está à mesma distância dos três vértices. Além disso, o circuncentro será interno ao triângulo quando este for acutângulo; externo, se ele for obtusângulo, e coincidirá com o ponto médio da hipotenusa se o triângulo for retângulo.

Nesta representação, as retas cinzas são as mediatrizes do triângulo ABC, e o ponto vermelho é o circuncentro. Observe a mudança das mediatrizes conforme você muda o formato do triangulo ABC. [Mova os vértices (pontos azuis) para fazer esta observação.]

Baricentro de um triângulo

Podemos traçar as medianas de um triângulo ligando o ponto médio da base (lado) com o vértice oposto à base (lado) em que se encontra. Quando traçamos todas as medianas, o ponto de encontro destas é chamado de BARICENTRO (ponto G). O baricentro é o centro de gravidade do triângulo, e está a uma distância de dois terços da mediana em relação ao vértice correspondente. Além disso, o baricentro sempre é interno ao triângulo, independente da classificação do triângulo quanto a seus lados ou a seus ângulos.

Nesta representação, os segmentos de reta pretos são as mediatrizes do triângulo ABC, e o ponto vermelho é o circuncentro. Observe a mudança das medianas e do baricentro conforme você muda o formato do triangulo ABC. [Mova os vértices (pontos azuis) para fazer esta observação.]

ORTOCENTRO de um triângulo

As alturas de um triângulo são segmentos que partem de um vértice ao lado oposto ou à reta suporte do lado oposto formando um ângulo reto. Podemos traçar as alturas do triângulo a partir da construção das retas perpendiculares às bases e que passam pelos vértices opostos as respectivas bases. Por estas retas que contém as alturas, encontraremos um ponto notável que chamamos de ORTOCENTRO (ponto H). O ortocentro é interno ao triângulo se ele é acutângulo, coincide com o vértice do ângulo reto se for retângulo e externo ao triângulo se ele for obtusângulo. Nesta representação, as retas pretas contém as alturas do triângulo ABC, e o ponto vermelho é o ortocentro. Observe a mudança das alturas e do ortocentro conforme você muda o formato do triângulo ABC. [Mova os vértices (pontos azuis) para fazer esta observação.]

INCENTRO de um triângulo

Traçando as bissetrizes dos ângulos do triângulo, isto é, dividindo os ângulos internos do triângulo em duas partes iguais, obtemos o INCENTRO (ponto I), pelo encontro das três bissetrizes internas. O incentro fica à mesma distância de todos os lados do triângulo, isto é, ele é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Por conta disso, esse ponto é sempre interno ao triângulo, independente da medida dos ângulos internos. Nesta representação, os segmentos de reta pretos são as bissetrizes do triângulo ABC, e o ponto vermelho é o incentro. Observe a mudança das bissetrizes e do incentro conforme você muda o formato do triângulo ABC. [Mova os vértices (pontos azuis) para fazer esta observação.]

Relação entre os pontos notáveis - atividade

Agora, observe na representação abaixo os três pontos notáveis mais utilizados (Ortocentro, baricentro e circuncentro): Mova os vértices e forme diferentes tipos de triângulos e analise: o que acontece com os pontos? Qual a relação que eles parecem ter? Essa relação depende do tipo de triângulo? Nesta representação, os segmentos de reta pretos lisos representam as medianas, as retas tracejadas representam as mediatrizes e as retas pontilhadas representam o prolongamento das alturas do triângulo. O ponto H (azul) é o ortocentro, o ponto G (rosa) é o baricentro e o ponto O (vermelho) é o circuncentro.

Resposta

Observe que, mesmo movendo os vértices e criando diferentes triângulos, os três pontos notáveis apresentados sempre são colineares, ou seja, sempre estão na mesma reta! Esta reta é chamada de RETA DE EULER. O único caso em que isso não ocorre é quando o triangulo é equilátero, quando não formam uma reta pois coincidem no mesmo ponto! O que nos diz que as mediatrizes, alturas e medianas também coincidem.