Ayuda para probar la fórmula de Pick
Esta construcción puede ayudarte a demostrar la fórmula de Pick.
La fórmula de Pick permite calcular el área de un polígono, cuyos vértices estén en una cuadrícula, simplemente contando cuántos puntos de la cuadrícula caen en el interior del polígono (i) y cuántos caen en el borde o perímetro (p).
Conociendo i y p, la fórmula afirma que el área ha de ser exactamente igual a la suma de i más la mitad de p menos 1.
El polígono ha de ser simple, es decir, sus lados no pueden cortarse (lo que incluye que tampoco pueden tocarse, ni solaparse).
Como es habitual en matemáticas, existen muy distintas maneras de demostrar esta fórmula. En esta construcción te proponemos que antes de intentar demostrar la fórmula para cualquier polígono, la intentes demostrar, en este orden, para:
1. Cualquier rectángulo de lados contenidos en la cuadrícula (es decir, paralelos a los ejes de coordenadas horizontal y vertical).
2. Cualquier triángulo rectángulo de catetos contenidos en la cuadrícula (es decir, mitad de un rectángulo como el anterior).
3. Cualquier triángulo.
4. Cualquier cuadrilátero. (Dispones de una ayuda más detallada aquí.)
La interactividad que proporciona GeoGebra, en combinación con los colores de los puntos y figuras, te ayudará a observar, conjeturar, razonar y, finalmente, demostrar.