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circles on Darboux cyclides 2-sheet

Autor:
Walter Füchte

14. September 2020 Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene Diese Aktivität ist auch eine Seite des geogebra-books Darboux Cycliden & bizirkulare Quartiken (14.09.2020)

Was läßt sich im obigen Applet erkunden? Rechts in 3D soll eine DARBOUX Cyclide angezeigt werden. Da wir leider keine Parameterdarstellung für diese Fläche kennen, wird sie mit Hilfe von Höhenlinien dargestellt: Start zh Animation. Diese Cyclide mit der Gleichung besitzt 5 Symmetrien: die Spiegelungen an den 3 Koordinatenebenen, die Spiegelung (Inversion) an der Einheitskugel, und eine weitere - nicht reelle - Möbiusspiegelung. Die Schnitte mit den Koordinatenebenen sind bizirkulare Quartiken, die links angezeigt werden, wenn nötig, um 90° in die komplexe GAUSSsche Ebene gedreht. Wir nennen die Cyclide 2-teilig, weil die Schnitte mit Symmetrie-Ebenen oder -Kugeln 2-teilig sind. Die Cyclide wird überdeckt von 6 Kreisscharen, die paarweise auftreten. Aus diesen Kreisscharen kann man auf 8 = 23 verschiedene 6-Eck-Netze aus Kreisen erzeugen; dies kann leider wegen der Komplexität der Rechnungen oben nicht dargestellt werden. "Darboux Cyclides and Webs from Circles" von H. POTTMANN, LING SHI und M. SKOPENKOV (2012 Lit. [POT_et_ali]). Wie findet man Kreise auf der DARBOUX Cyclide? Kugeln (Toolbar ImageDB-Kugeln), welche die Cyclide doppelt (also in 2 verschiedenen Punkten) berühren, schneiden die Cyclide in 2 Kreisen: diese Kreise können komplex sein, oder zusammenfallen, oder es sind 2 verschiedene reelle Kreise. 2-teilige bizirkulare Quartiken besitzen 4 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen: jede dieser Scharen ist durch eine der Symmetrien bestimmt. Erweitert man die doppelt-berührenden Kreise der bizirkularen Quartik in der -Ebene zu doppelt-berührenden, zur -Ebene orthogonalen Kugeln, so kann man mit ihrer Hilfe die Kreise auf der DARBOUX Cyclide konstruieren. Wie konstruiert man die doppelt-berührenden Kreise einer bizirkularen Quartik? Eine 2-teilige bizirkulare Quartik besitzt 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte; für die Quartik in der -Ebene oben liegen diese auf der -Achse, spiegelbildlich zur -Achse und zum Einheitskreis. Mit folgender generell für bizirkulare Quartiken gültigen Eigenschaften kann man die doppelt-berührenden Kreise mitsamt der Berührpunkte konstruieren:
  • Spiegelt man einen zuvor fest gewählten Brennpunkt (zB. ) an den doppelt-berührenden Kreisen einer Symmetrie, so liegen die Spiegelpunkte auf einem Kreis: dem zugehörigen Leitkreis! Aus der Kenntnis des zugehörigen Leitkreises kann man die doppelt-berührenden Kreise mit Hilfe der Punkte auf dem Leitkreis konstruieren! Man wähle hierzu eine der Symmetrien und bewege den Punkt pL.. auf dem Leitkreis Die Leitkreise kann man mit Hilfe der Scheitelkreise und der oben genannten Grundeigenschaft konstruieren. Die Leitkreise sind orthogonal zur -Achse.
  • Die Symmetrie zerlegt die 4 Brennpunkte in 2 Paare, und damit in 2 elliptische Kreisbüschel1). Durch jeden Punkt der Quartik gehen aus jedem dieser Kreisbüschel genau ein Kreis. Die Quartik selber und die doppelt-berührenden Kreise sind Winkelhalbierende (Winkelsymmetrale) dieser beiden "Brenn-Kreise".
Die Konstruktion mit Hilfe des Leitkreises gelingt auch für den Fall zweier nicht-reeller Berührpunkte! Der Schnitt der dazu gehörenden doppelt-berührenden Kugel mit der Cyclide kann dennoch aus reellen Kreisen bestehen! 1) Das Büschel aller Kreise durch 2 verschiedene Punkte wird meist "elliptisch" genannt!
Wie konstruiertToolbar Image man die Kreise auf der Cyclide? Die doppelt-berührenden Kreise werden erweitert zu doppelt-berührenden Kugeln, orthogonal zur -Ebene. Diese Kugeln schneiden oder berühren die Quartiken in den Koordinatenebenen in mehreren Punkten. Mit ihnen kann man die beiden Kreise auf der Cyclide konstruieren, wir unterscheiden die beiden Kreise farblich! Jede dieser beiden Kreisscharen überdeckt die Cyclide einfach: StartAniLeit. Die zur -Achse symmetrischen Kreise und die dazugehörenden Kugeln werden oben nicht angezeigt: sie haben mit der Cyclide nur die Berührpunkte gemeinsam. Kann es weitere Kreise auf der Cyclide geben? Die bizirkularen Quartiken in der -Ebene, bzw. in der -Ebene besitzen ebenfalls doppelt-berührende Kreise und die dazugehörende Kugeln. Für die -Ebene haben wir exemplarisch diese doppelt-berührenden Kugeln konstruiert: ConstrBizzx, bewege pxzx. Für berühren diese Kugeln nur in den Berührpunkten, für erhält man zur Einheitskugel symmetrische Schnittkreise, für ergeben sich -symmetrische Kreise. Man kann diese Kreise mit den oben konstruierten Kreisen vergleichen: die auf diese Weise konstruierten Kreise stimmen mit den oben konstruierten Kreisen überein! util zeigt einen zur Konstruktion nützlichen Kreis auf der Cyclide!
Nachtrag: Entsperrt man die Fizierung der Brennpunkte [f'sfix], so lassen sich die Parameter ändern. Möglicherweise werden die Kreisscharen auf den entstehenden Cycliden nicht mehr kontinuierlich dargestellt: viele Berechnungen sind komplex!
Zusammenhänge: Der Beweggrund für dieses book und diese Aktivität ist die Frage von W. BLASCHKE (1938) nach allen 6-Eck-Netzen aus Kreisen. Eine Frage, die unseres Wissens nach noch nicht beantwortet ist. Im Applet oben kann man die 2*3, also 6 Kreisscharen erkunden, die auf einer 2-teiligen DARBOUX Cyclide zu finden sind. Aus diesen Kreisen lassen sich 8 verschiedene 6-Eck-Netze aus Kreisen auf der Cyclide erzeugen. DARBOUX Cycliden sind die räumliche Fortsetzung von speziellen ebenen Kurven: den bizirkularen Quartiken in der um ergänzten GAUSSschen Zahlenebene . Die Klasse der Flächen, welche DARBOUX Cycliden darstellen, ist invariant unter räumlichen Möbiustransformationen. Die Klasse der bizirkularen Quartiken ist invariant unter ebenen Möbiustransformationen. Im Folgenden soll kurz und als Übersicht der Zusammenhang zwischen bizirkularen Quartiken und DARBOUX Cycliden dargestellt werden. Dazu müssen einige möbiusgeometrische Grundlagen ohne Begründungen zusammengetragen werden. Lineare Vektorfelder in der Möbiusebene In der GAUSSschen Zahlenebene nennen wir ein durch eine Differentialgleichung des folgenden Typs gegebenes Vektorfeld
  • mit komplexen ein lineares Vektorfeld.
Die Integralkurven sind - abhängig von - die Kreise durch die beiden "Brennpunkte" , also das elliptische Kreisbüschel durch - die dazu orthogonalen Kreise, also das hyperbolische Kreisbüschel um - oder die Kurven, welche die Kreise der beiden Kreisbüschel jeweils unter konstantem Winkel schneiden; wie nennen diese Kurven Loxodrome ("Winkelgleiche" nach wikipedia) Fallen und zusammen, erhält man die parabolischen Kreisbüschel durch den Berührpunkt als Lösungskurven. Für den Spezialfall und ergeben sich die Ursprungsgeraden, die konzentrischen Kreise um 0 und die logarithmischen Spialen um 0 als Lösungen. Quadratische Vektorfelder in der Möbiusebene Gewöhnlich nennt man eine Differentialgleichung des folgenden Typs elliptisch:
  • mit komplexen
Wir nennen ein solches Vektorfeld quadratisch. Die Nullstellen erlauben wir uns als Brennpunkte zu bezeichnen. Sind die 4 Brennpunkte verschieden., so kann man aus ihnen auf 3 verschiedene Weisen 2 elliptische Kreisbüschel mit diesen "Brennpunkte" bilden. Die Lösungskurven der elliptischen Differentialgleichung sind Winkelhalbierende der Kreise der beiden Büschel: von den Brennpunkte abgesehen gehen durch jeden Punkt der Ebene aus jedem Kreisbüschel je ein Kreis. Die Lösungskurven halbieren die Winkel zwischen den Kreisen. Über die Form und die Art dieser Lösungskurve wissen wir nichts! Zumindest, wenn über die Lage der Brennpunkte nichts weiter ausgesagt ist! Komplex analytisch sind die Lösungsfunktionen elliptische Funktionen: das sind dopplt-periodische komplex-analytische Funktionen, die in geToolbar Imagegebra leider nicht implementiert sind!
Konfokale bizirkulare Quartiken als Lösungskurven quadratischer Vektorfelder Die Lage der 4 Brennpunkte eines quadratischen Vektorfeldes läßt sich mit Hilfe des komplexen Doppelverhältnisses beschreiben. Das Doppelverhältnis ist abhängig von der Reihenfolge der Punkte; unabhängig von der Reihenfolge und aussagekräftiger ist die absolute Invariante der 4 Brennpunkte - stimmt überein mit der absoluten Invariante der elliptischen Differentialgleichung. Dazu das Kapitel Lage von 4 Punkten Ist reell, so sind konfokale bizirkulare Quartiken Lösungen des quadratischen Vektorfeldes!
  • : das Doppelverhältnis ist reell, die 4 verschiedenen Brennpunkte liegen auf einem Kreis. Die bizirkularen Quartiken sind 2-teilig. Mit einer geeigneten Möbiustransformation erhält man die Brennpunkte . Die Quartiken sind symmetrisch zu den Koordinatenachsen und zum Einheitskreis.
  • : bei geeigneter Reihenfolge ist , Die Brennpunkte liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen. Die Quartiken sind 1-teilig, mit einer geeigneten Möbiustransformation sind die Brennpunkte. Die Koordinatenachsen sind Symmetrie-Achsen.
  • Sonderfall und die Brennpunkte sind verschieden: sie besitzen harmonische Lage. Lösungskurven sind konfokale 2-teilige Quartiken, und im 45°-Winkel dazu konfokale 1-teilige Quartiken.
  • Sonderfall : Tetraederfall - die Brennpunkte sind auf der Kugel die Ecken eines gleichseitigen Tetraeders. Lösungskurven sind 3 konfokale 1-teilige Quartikscharen, die sich unter Vielfachen von 30° schneiden.
  • , 2 der 4 Brennpunkte fallen zusammen: wählt man diesen als , so sind konfokale Mittelpunktskegelschnitte Lösungskurven.
  • , ein dreifacher und ein einfacher Brennpunkt: Lösungskurven sind konfokale Parabeln, wenn man den 3-fachen Brennpunkt als wählt.
  • , 2 doppelt-zählende bzw. ein 4-fach zählender Brennpunkt: Lösungskurven sind doppelt-zählende elliptisch/hyperbolische bzw. parabolische Kreisbüschel als Grenzfälle von bizirkularen Quartiken!
 
 
Bizirkulare Quartiken auf der Kugel Projiziert man eine bizirkulare Quartik stereographisch auf eine Kugel, so erhält man eine Kurve "4.ter Ordnung 1.Art"; das sind - etwas geometrischer beschrieben - die Kurven, die entstehen, wenn man die Kugel mit einer Quadrik schneidet. Dazu das geogebrabook Kugel-Kegelschnitte und die Aktivität Kugel-Kegelschnitte Schneidet man eine DARBOUX Cyclide mit einer Ebene oder einer Kugel, so erhält man eine bizirkulare Quartik, bzw. den Schnitt der Kugel mit einer Quadrik. Schaut man sich den Schnitt der Einheitskugel mit der Cyclide im Applet in Richtung der Achsen an, so kann man die zugehörigen Kegel oder Zylinder erahnen, welche dieselben Schnitte mit der Kugel ergeben.

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