Concurența medianelor demonstrată vectorial

Subiect:
Vectori

Teoremă

Medianele unui triunghi sunt concurente.

Demonstrație

Considerăm triunghiul ABC și notăm cu M mijlocul segmentului [BC]. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Din definiția centrului de greutate avem: (1).
În triunghiul GBC, este vectorul mediană, deci (2). Înlocuim în (1) pe cu (din relația (2)) și obținem , adică . Rezultă că vectorii și sunt coliniari, deci punctele A, G, M sunt coliniare. Am demonstrat că G se află pe mediana AM.

Analog, demonstrează că

  • N, mijlocul segmentului [AB], este coliniar cu C și G și că
  • P, mijlocul segmentului [AC], este coliniar cu B și G.
Folosește aplicația geogebra de mai sus pentru a reprezenta vectorii și .

Am demonstrat că G se află pe fiecare din medianele triunghiului ABC și pentru că într-un triunghi medianele nu pot fi pe aceeași dreaptă rezultă că au punctul G comun. Astfel, am demonstrat că medianele triunghiului ABC sunt concurente în punctul G.