Il teorema di Carnot
- Autore:
- Ilic Ferretti
L'altra formula trigonometrica fondamentale, che insieme al teorema dei seni ci aiuta a risolvere qualsiasi triangolo, ci viene dal Teorema di Carnot, detto anche teorema del coseno.
Esso ci permette di esprimere la misura di un lato qualsiasi di un triangolo attraverso la misura degli altri due lati ed il coseno dell'angolo incluso tra essi, attraverso la seguente formula:
Riformulandolo nella notazione "compatta", in cui chiamiamo il lato opposto ad , quello opposto a e così via, diventa:
Vediamone innanzitutto la dimostrazione nell'animazione qui sotto.
Come vedi la formula sembra quasi un quadrato di binomio, con il doppio prodotto che contiene anche il coseno dell'angolo incluso tra ed .
Assomiglia anche al Teorema di Pitagora, ma in più ha appunto questo "doppio prodotto" che sparisce se , cioè se l'angolo tra i due lati noti è di 90° - in questo caso il triangolo è rettangolo ed il lato rosso è opposto all'angolo di 90° e quindi è l'ipotenusa, ed il teorema di Carnot diventa quello di Pitagora.
NESSUNA AMBIGUITÀ SUGLI ANGOLI
Invertendo la formula possiamo ottenere, avendo i tre lati, il coseno di uno degli angoli a nostra scelta. Facendo riferimento alla formula enunciata sopra ed invertendola per trovare abbiamo:
da notare che poiché la formula ci fornisce il coseno dell'angolo, non vi è alcuna ambiguità su quest'ultimo. L'arco associato che ha stesso coseno di , infatti, è o , che chiaramente non può essere l'angolo interno di un triangolo. A differenza del teorema dei seni, quindi, il teorema di Carnot può essere tranquillamente utilizzato per ricavare gli angoli senza bisogno di nessun ragionamento ulteriore.
Per fare esercizio su questa legge puoi usare lo strumento interattivo presente in questa pagina:
http://davidpetro.org/WebSketches/coselawPractice/index.html
ANCORA GUAI CON IL TEOREMA DEI SENI
Un altro aspetto che rende Carnot uno strumento più "sicuro" è il fatto che esso tiene conto dell'intero triangolo, dato che nella sua formula compaiono tutti i lati, mentre i calcoli del teorema dei seni considerano solo la relazione tra due lati/angoli, ignorando completamente il terzo. Ne vediamo le conseguenze pratiche nell'esempio mostrato nell'animazione successiva.