Paradoks Luas (Identitas Cassini)
Formula Cassini, atau sering juga disebut dengan identitas Cassini ditemukan oleh Giovanni Domenico Cassini di tahun 1680 saat ia menjabat sebagai direktur Observatorium Paris. Formula ini dibuktikan secara independen olah Robert Simson pada tahun 1753. Puzzle berikut didasarkan pada identitas Cassini.
Diawali dari barisan bilangan Fibonacci F1 = F2 = 1 dan Fn = Fn-2 + Fn-1 untuk n>3,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Ambil tiga suku berurutan barisan bilangan Fibonacci Fn-1, Fn, Fn+1 kemudian susun menjadi bangun seperti applet-applet di bawah. Geser slider, dan amati luas bangun kiri dan kanan.
Komposisi 5, 8, 13
Komposisi 8, 13, 21
Komposisi 13, 21, 34
Pertanyaan:
Benarkah luas kanan bisa dihitung dengan rumus luas jajargenjang? Di mana letak kesalahannya?
Identitas Cassini
Ambil sebarang 3 suku berurutan barisan bilangan Fibonacci:
Cobalah mengambil 3 suku yang lain, misal
1, 1, 2, 3
1, 2, 3, 5
2, 3, 5, 8
coba juga untuk suku yang lebih besar
21, 34, 55, 89
Dari proses induktif di atas, dapat diduga:
Identitas ini dikenal sebagai Identitas Cassini.
Tugas: Buktikan bahwa identitas berlaku untuk semua bilangan asli n.
| | Barisan | Luas Kiri | 'Luas' Kanan | Hubungan |
| | 3, 5, 8, 13 | |||
| | 5, 8, 13, 21 | | | |
| | 8, 13, 21, 34 | | | |