Arco catenario
Asunto
Trazado de un arco catenario.
Descripción
La catenaria es la curva que describe una cuerda suspendida por sus extremos. Una arco catenario es el que se construye invirtiendo dicha curva.
Interactividad
- El arco se puede generar automáticamente con el botón Arco catenario o manualmente con el deslizador Giro. De ambas maneras se invierta la catenaria para obtener el arco arquitectónico.
- La luz de un arco es la distancia horizontal entre sus apoyos.
- El deslizador Flecha controla la flecha del arco, es decir, su altura respecto de la línea de impostas.
- La casilla de control permite quitar o poner unas jambas y un umbral para dar contexto a la figura.
La ecuación
Si y = f(x) es la ecuación de la catenaria, para invertirla le cambiamos el signo:
y = -f(x)
y para mantener los arranques a la misma altura se le suma el valor de f en ellos:y=f(S/2) - f(x)
donde S es la separación entre dichos puntos de apoyo. Queremos controlar el arco en función de su luz S y de su flecha F. Entonces se tiene que verificar quef(S/2) - f(0) = F.
La función f(x) depende de un parámetro a que está tanto dentro como fuera de un coseno hiperbólico. Por lo tanto, la ecuación que hemos obtenido es trascendente y con pinta de no dejarse resolver explícitamente. Para salir del paso he aproximado la función por un polinomio de Taylor, con lo cual la ecuación se convierte en polinómica y por tanto al alcance de GeoGebra. Para más detalles del procedimiento, ver Catenaria dada la flecha del arco. + arcos: Arcos arquitectónicos + construcciones: Epsilones