Cálculo de trayectorias
Cálculo de trayectorias
Para poder calcular la altura y el alcance de un proyectil, la velocidad inicial de proyección se descompone en dos componentes, una vertical y otra horizontal (Esto está explicado en la figura 1.2). Llamando "" a la velocidad de tiro y al ángulo de elevación , las componentes ""e "" de la velocidad están dadas por las siguientes funciones trigonométricas,
y
Si se transpone a al otro miembro de cada ecuación,(1) (2)
El recorrido de la trayectoria verdadera es una combinación de dos movimientos, uno el movimiento de una partícula proyectada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial , el otro una velocidad horizontal que permanece constante. En otras palabras, una partícula lanzada, verticalmente hacia arriba con una velocidad se elevaría a la misma altura y en el mismo tiempo que otra proyectada a un ángulo con una velocidad .
Figura 1.2. La trayectoria de un proyectil, mostrando H=la altura máxima alcanzada y R=el alcance máximo, en un T=tiempo de vuelo realizado
Puesto que el tiempo requerido para alcanzar el punto más alto es igual al tiempo necesario para caer a la misma distancia, la fórmula para caída libre será la que se use. la fórmula de un objeto que cae desde el reposo es la ecuación:
(3)
Por transposición y sustitución de la ecuación (1), encontramos
(4)
Porque es el tiempo de la elevación, o el tiempo de la caída, el tiempo total de vuelo será . Por lo tanto, el tiempo de vuelo es por consiguiente,
tiempo de vuelo (5 )
Para encontrar la altura , se usa la ecuación,
(6)
Despejando H tenemos,
(7)
Usando la ecuación (1), se sustituye por y tenemosaltura máxima (8)
Para encontrar el alcance , se usa la ecuación; reemplazando la letra por , por , y por el tiempo total de vuelo encontramos o bien(9)
Para poner esta fórmula en otra forma, se usa la relación trigonométrica . Haciendo las sustitucionesAlcance (10)
En esta forma, se ve el momento que , para una velocidad dada v, el alcance es máximo cuando es máximo. Puesto que el seno tiene su mayor valor igual a la unidad para un ángulo de , el mayor ángulo será de . Más aún, el alcance, para cualquier ángulo de un número de grados mayor que , será igual al alcance para un número igual de grados menor de , (eso se puede comprobar en la figura 2.1)