Curve e loro "Evolute"
Curve e loro "Evolute"
L’elaborato propone la costruzione di 5 curve e delle loro rispettive "Evolute": 4 come ipocicloidi e una come epicicloide, nonché le medesime attraverso le loro equazioni. Indicato co “R” il raggio della circonferenza maggiore, con “r” il raggio della circonferenza minore, con l’angolo di rotazione della circonferenza minore e con l’angolo di rotazione del punto mobile della circonferenza minore, le curve considerate sono:
1) asteroide: ipocicloide con r=R/4 e =-3; equazione cartesiana , trovata da Leibniz: y=
2) deltoide: ipocicloide con r = R/3 = -2; equazione parametrica: x=2acos +acos2; y=2asin -asin2
3)ellisse: ipocicloide con r = R/3 e = - ; equazione parametrica: x= acos; y=bsin;
4) nefroide: ipocicloide con r= R/4 e = 3; equazione parametrica: x=a(3cos - cos3); y=a(3sin - sin3)
5) cardioide: epicicloide con r=R e =; equazione parametrica: x=2acos - acos2; y=2asin - asin2.
Nota: "L'inviluppo" di una famiglia di rette è quella singola curva tale che la retta tangente in qualsiasi suo punto è una retta della famiglia. "L'evoluta" di una curva è l'inviluppo delle rette perpendicolari ad ogni suo punto.