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心を中心とする三円

三角形の内接三角形と外接三角形の作図

「等力点の垂足三角形が正三角形になること」 「昔発見した、外心を中心に回転すると相似になること」 「三角形のミケルの定理」 これらの間につながりがあるのではないかと考えた。 フェルマー点(x13)は、各辺の作る正三角形の頂点を通る円が一点で会する点。 頂点と辺上の点を通る3円は、一点で会する。 これらのことを踏まえて、 A:自由な点で会する3円(頂点と辺上の点)が作る内接三角形 B:自由な点と2頂点を通る3円が作る外接三角形 を作図し、自由な点を三角形の心に当てはめてみた。 すると、フェルマー点や等力点(x15,16)や外心だけでなく、 内心や垂心でも面白い性質を持つことがわかってきた。 水色の三角形が外接三角形(Hを動かす) 茶色の三角形が内接三角形(Eを動かす) NはX(N)=TriangleCenter(A, B, C, n)で三角形の心 まとめると 「三角形の頂点を通る3円が一点で交われば、内接三角形と外接三角形ができる。  この一点を中心としてできる内接・外接三角形は、  この中心が等角共役点ならば互いに相似になる。」 例えば、内心(x1)の等角共役点は内心なので、内接三角形と外接三角形は相似である。 フェルマー点(x13,14)と等力点(x15,16)は等角共役。 外心(x3)と垂心(x4)、重心(x2)と類似重心(x6)も等角共役。

内心は内接△と外接△が相似。外心は内接△と△ABCが相似。垂心は外接△と△ABCが相似。田尻の定理は外心(n=3)の場合で、等力点やフェルマー点の場合は正三角形になる(n=15、16にしてみよう)。

内心Iを中心とする内接三角形と外接三角形が相似であることの証明。

外接三円を拡大していくと、外接三角形は内接三角形になる。これもきれいな対称性の1つ。

等角共役点DとKの作る内接(垂足)三角形と外接三角形は互いに相似。Dを動かしてみましょう。

証明