Função de Segundo Grau

Uma função

chama-se quadrática (ou de segundo grau) quando existem números reais a, b, c, com

, tal que f leva x em

, para todo

. Ou seja,

, e colocamos os valores de f(x) no eixo y. O gráfico da função quadrática se chama parábola, e a sua representação geométrica aparece em verde no diagrama abaixo. O coeficiente "a" indica a concavidade da parábola (virada para cima ou para baixo), o sinal de "b" implica em como a função corta o eixo y (crescente ou decrescente) e o valor de "c" mostra qual o ponto de intersecção do gráfico com o eixo y, ou seja o ponto (0,c) sempre pertence ao gráfico.

Gráfico da função de segundo grau

Coeficiente "a"

Varie o coeficiente "a" movendo o controle deslizante no diagrama acima, fazendo "a" assumir diferentes valores e responda: (a) O que acontece com o gráfico quando ? (b) O que acontece com o gráfico quando (positivo)? (c) O que acontece com o gráfico quando (negativo)? (d) O que o coeficiente "a" nos indica sobre o gráfico da parábola? Por que isso acontece?

Coeficiente "b"

Varie o coeficiente "b" movendo o controle deslizante no diagrama acima e responda: (a) O que acontece com o gráfico quando ? (b) O que acontece com o gráfico quando (positivo)? (c) O que acontece com o gráfico quando (negativo)? (d) O que o coeficiente "b" nos indica sobre o gráfico da função de segundo grau?

Coeficiente "c"

Por último, varie o coeficiente "c" movendo o controle deslizante no gráfico e responda: (a) O que acontece com o gráfico quando ? (b) O que acontece com o gráfico quando ? (c) O que acontece com o gráfico quando ? (d) O que o coeficiente "c" nos indica sobre o gráfico da parábola? Por que isso acontece?

Delta e Raízes

Podemos calcular o valor de

(Delta) conhecendo os coeficientes de uma função de segundo grau.

A partir dele, podemos calcular as raízes (ou zeros) da função quadrática, que são os pontos onde

, ou seja, os pontos onde o gráfico intercepta o eixo x.

Lembrando que sempre temos dois resultados (x₁e x₂) para uma equação de segundo grau, pois devemos levar em conta os dois casos de

. Observe o gráfico abaixo:

Delta e o seu sinal

Varie os coeficientes "a", "b" e "c" no diagrama acima e observe o valor de na janela a esquerda (que o próprio software calcula) e responda: (a) Quantas vezes o gráfico intercepta o eixo x quando (positivo)? (b) Quantas vezes o gráfico intercepta o eixo x quando ? (c) Quantas vezes o gráfico intercepta o eixo x quando (negativo)? (d) Por que o número de raízes muda conforme o sinal do ? Justifique.

Vértice

Volte no diagrama acima e observe o "vértice" de diferentes funções de segundo grau. Ele representa o ponto de máximo (no caso em que

) ou de mínimo (quando

) da parábola, para calculá-lo utilizamos:

para calcular a sua coordenada x,

para calcular a sua coordenada y.

Responda:

Quais as coordenadas do vértice das seguintes funções de segundo grau? Ele é um ponto máximo ou mínimo? Dica: substitua os valores de "a", "b" e "c" nos controles deslizantes do gráfico acima e observe as coordenadas do ponto "vértice". (a) (b) (c) (d) (e)

Forma fatorada

Usamos a forma fatorada de uma função quando sabemos as raízes e escrevemos a sua lei:

Observe o gráfico abaixo, nele você pode variar os valores de "a", "x₁" e "x₂".

Lei da função quadrática

Substitua os seguintes valores para "a", "x₁" e "x₂" e responda qual a lei da função - indicada na janela algébrica à esquerda representada por Lei(x). (a) , , (b) , , (c) , , (d) , , (e) Observe as respostas de (c) e (d), o que podemos afirmar sobre a lei de uma função de segundo grau que tem zero como uma das raízes? (f) , , (g) , , (h) Observe as respostas de (f) e (g), o que podemos afirmar sobre a lei de uma função de segundo grau que tem raízes opostas, isto é, de mesmo valor, mas sinais trocados?

Resolvendo uma questão de vestibular com o GeoGebra

Para solucionar a próxima questão, retirada da prova da ENEM, você pode utilizar a calculadora gráfica do GeoGebra (https://www.geogebra.org/graphing), que cria os gráficos das funções colocadas na entrada algébrica instantaneamente e permite a interpretação geométrica delas. Crie o gráfico da função abordada e procure a alternativa correta.

ENEM 2016

Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função (em que t é expresso em dia e t=0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão só é válida para os 60 primeiros dias da epidemia. A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. A segunda dedetização começou no