Ancora sull'andamento: variazioni costanti rispetto qualsiasi intervallo
Abbiamo visto che l'andamento lineare, descritto da un'espressione di primo grado e rappresentato graficamente da una retta, è caratterizzato da una variazione assoluta del risultato in una certo intervallo dell'input. Ad esempio se il mio patrimonio in funzione degli anni è descritto dalla funzione
significa che ogni anno esso aumenta di 500 euro.
L'andamento esponenziale, invece, è caratterizzato da un aumento relativo (ad esempio percentuale) costante: se il mio patrimonio in funzione degli anni è descritto dalla funzione
ogni anno esso è aumentato dell'8% di quanto valeva all'inizio di quell'anno, e quindi ogni anno la cifra sarà diversa.
Vediamo in questo capitolo che la variazione (assoluta o relativa) resta costante indipendentemente dall'estensione dall'intervallo su cui la misuriamo (ovviamente l'entità di questa variazione dipenderà da quella dell'intervallo scelto).
Per fare questo
- per prima cosa facciamo un esempio numerico: consideriamo due istanti iniziali diversi ed un intervallo a piacere, e verifichiamo che in entrambi i casi il capitale è aumentato nello stesso modo.
- per dimostrare che il comportamento vale sempre, tuttavia, dovremo ripetere il calcolo per valori iniziali ed intervallo qualsiasi, cioè rappresentati da lettere. Consolideremo così la nostra capacità di impostare e svolgere delle dimostrazioni.
CASO ESPONENZIALE
Consideriamo la funzione lineare introdotta prima, , e valutiamola in un istante iniziale qualsiasi, ad esempio (tra cinque anni)
Ora facciamo trascorrere un intervallo arbitrario, ad esempio e calcoliamo di quanto è cambiato il patrimonio nel frattempo
Il rapporto tra il patrimonio finale e quello iniziale è pari a
Dopo quattro anni quindi il patrimonio è circa il del patrimonio di partenza, che quindi è aumentato del suo
Ora ripetiamo il calcolo rispetto un altro valore iniziale, ad esempio (tre anni fa): in questo istante il patrimonio vale
Dopo lo stesso intervallo considerato prima il patrimonio diventa
Il rapporto tra il patrimonio finale e quello iniziale è pari a
Sembra quindi che preso qualsiasi istante iniziale, dopo due anni si ha sempre lo stesso incremento relativo (o percentuale) di patrimonio, cioè del - i due rapporti non coincidono perfettamente a causa degli arrotondamenti intermedi che abbiamo compiuto.
Dimostriamo ora che dato un intervallo qualsiasi l'incremento percentuale di patrimonio è sempre lo stesso, indipendentemente dall'istante di partenza in cui lo valutiamo.
Valutiamo il patrimonio in un istante qualsiasi
dopo anni abbiamo
Il rapporto tra patrimonio finale e quello iniziale è pari a
Concentriamoci sul denominatore ed applichiamovi la proprietà sul prodotto di potenze con la stessa base letta al contrario:
Dato che il rapporto ottenuto è superiore a uno, il patrimonio finale rappresenta una percentuale superiore a cento del patrimonio iniziale: il patrimonio è aumentato percentualmente del - esattamente come nell'esempio numerico un rapporto del indicava un aumento del .
Ripetiamo ora lo stesso calcolo per un altro istante qualsiasi
dopo anni abbiamo
Anche in questo caso il rapporto tra patrimonio finale e quello iniziale è pari a
Abbiamo ottenuto lo stesso valore di variazione percentuale, pari anche stavolta a ; dato che nei due esempi abbiamo preso valori qualsiasi possiamo affermare che in un andamento esponenziale una determinata variazione dell'input causa sempre la stessa variazione relativa (o percentuale) dell'output .
APPLICAZIONI
Questa proprietà generale dell'andamento esponenziale ci permette di utilizzarlo in modo molto più flessibile per risolvere problemi che lo riguardano.
ESEMPIO 1
Un'auto che ho comprato 4 anni fa mi viene valutata 10.500€. Supponendo che il valore dell'auto segua un andamento esponenziale rispetto al tempo, e sapendo che l'ho acquistata per 12.900 euro, calcola:
- la funzione che descrive il valore dell'auto al passare del tempo.
- il valore che avrà l'auto tra altri due anni
- il tasso di deprezzamento annuale
- quello decennale.
PER RIFLETTERE
Ma se l'auto perde il 5% del suo valore ogni anno, in quattro anni non dovrebbe avere perso il 20%, non il 18,6%!!! Cosa c'è che non funzione in questo ragionamento?
1) Per trovare il tasso decennale possiamo partire dall'espressione riferita all'anno, tuttavia è sempre meglio ripartire dall'espressione originale, per evitare che troppi arrotondamenti portino ad un errore eccessivo.
Dato che il rapporto tra decenni e quadrienni è meno ovvio di quello visto alla domanda precedente, osserviamo semplicemente che in dieci anni ci sono due quadrienni e mezzo , l'effetto sul valore dell'auto dopo un decennio può essere calcolato, utilizzando la funzione originale, come
Dopo dieci anni, e quindi ogni dieci anni, il valore dell'auto è il dell'originale, e quindi si deprezza del .
UN ALTRO MODO PIÙ GENERALE PER RISOLVERE IL PROBLEMA È IL SEGUENTE
Troviamo il divisore comune più semplice tra decenni e quadrienni, che sono gli anni; quindi esprimiamo la funzione originale utilizzando questa unità, come fatto alla domanda precedente
A questo punto volendo considerare i decenni, dobbiamo far comparire il rapporto , che dato il numero di anni calcola quanti decenni sono passati. Applicando la proprietà invariantiva delle frazioni otteniamo
a questo punto mettiamo in evidenza , cioè i decenni, applicando la solita proprietà delle potenze
Il fattore , che è lo stesso trovato al punto precedente, è appunto quello associato ad un intervallo di 10 anni , cioè di un decennio.