Segmentos trigonométricos en la circunferencia unitaria - Lección 05-10
Circunferencia unitaria, también llamada cricunferencia trigonométrica, es una circunferencia que tiene como radio la unidad y como centro el origen del sistema de coordenadas. Su ecuación es . Todo punto P(x, y) que cumpla esta ecuación, pertenece a la circunferencia.
El applet siguiente muestra el segmento correspondiente a cada una de las razones trigonométricas en la circunferencia unitaria para el ángulo α en posición normal desde 0° hasta 360°. La amplitud del ángulo se modifica con el dial del deslizador.
El lado terminal del ángulo se ubica en uno de los cuatro cuadrantes en que se divide la circunferencia:
- Cuadrante I. Ángulos entre 0° y 90°.
- Cuadrante II. Ángulos entre 90° y 180°.
- Cuadrante III. Ángulos entre 180° y 270°.
- Cuadrante IV. Ángulos entre 270° y 360°.
En este applet, con fines didácticos los segmentos trigonométricos se representan como un vector para indicar fácilmente si es positivo o negativo:
- Es positivo (+) cuando el vector es vertical hacia arriba u horizontal hacia la derecha.
- Es negativo (-) cuando el vector es vertical hacia abajo u horizontal hacia la izquierda.
Para cada razón se muestra el triángulo de referencia. Obsérvese que en cada caso el segmento ubicado en el denominador de la fracción es la unidad. De ahí que cada razón quede identificada por un segmento:
- , segmento DC. El triángulo de referencia es ADC, rectángulo en D, donde AC = 1.
- , segmento AD. El triángulo de referencia es ADC, rectángulo en D, donde AC = 1.
- , segmento BF. El triángulo de referencia es ABF, rectángulo en B, donde AB = 1.
- , segmento GH. El triángulo de referencia es AGH, rectángulo en G, donde AG = 1.
- , segmento AM. El triángulo de referencia es ACM, rectángulo en C, donde AC = 1.
- , segmento AN. El triángulo de referencia es ACN, rectángulo en C, donde AC = 1.
Los triángulos ABD, AGH, ACN y ACM son semejantes al triángulo original ADC por tener los lados correspondientes perpendiculares.
Matemáticamente, el signo del segmento trigonométrico se obtiene de la definición de cada razón trigonométrica en el triangulo ADC. El triángulo ADC queda ubicado en el mismo cuadrante del lado terminal del ángulo. Se debe tener en cuenta que:
- La hipotenusa siempre es positiva (+).
- El cateto opuesto depende de la orientación con relación al eje X: es positivo (+) si está hacia arriba y es negativo (-) si está hacia abajo.
- El cateto adyacente depende de la orientación con relación al eje Y: es positivo (+) si está hacia la derecha y es negativo (-) si está hacia la izquierda.
Actividades:
1. Explore el applet siguiente. Para cada razón trigonométrica observe el vector y analice el triángulo rectángulo de referencia.
Responda el siguientes cuestionario.
2. es positivo en los cuadrantes
3. es positiva en los cuadrantes
4. es positiva en los cuadrantes
5. En el cuadrante II son positivas las razones
Explore las siguientes actividades del mismo autor:
a) Razones trigonométricas - definición y fórmula, https://www.geogebra.org/m/eqzkfx8d
b) Razones trigonométricas y segmentos trigonométricos en cuadrante I, https://www.geogebra.org/m/ewapvnjf
c) Signo de las razones trigonométricas, https://www.geogebra.org/m/jgad3wpa
d) Razones trigonométricas: gráfica de seno y coseno, https://www.geogebra.org/m/xaj8uypg
e) Razones trigonométricas: gráfica de tangente y cotangente, https://www.geogebra.org/m/m64ypr32
f) Razones trigonométricas: gráfica de secante y cosecante, https://www.geogebra.org/m/ezybfacz