Indeterminación 0·∞
En esta página proporcionamos ejemplos de límites con la indeterminación cero por infinito.
1. Indeterminación 0·∞
La expresión cero por infinito es una indeterminación puesto que aparece en el límite de funciones distintas cuyos límites son distintos.
Por ejemplo,
Pero el primer límite es igual a 0 y el segundo es igual a 1.
Pero el primer límite es igual a 0 y el segundo es igual a 1.
2. Regla de L’Hôpital
La regla de L’Hôpital es un resultado del cálculo diferencial que permite calcular límites con la indeterminación infinito partido infinito o cero partido cero:
Si tenemos un límite con la indeterminación cero por infinito, podemos transformar la función para obtener una de las dos indeterminaciones que nos permita aplicar esta regla.
Supongamos que tenemos la indeterminación cero por infinito:
siendo 0 el límite de f(x) e infinito el límite de g(x).
Transformación a ∞/∞:
El límite del inverso de f(x) es infinito:
Por tanto,
Transformación a 0/0:
De forma similar,
Si tenemos un límite con la indeterminación cero por infinito, podemos transformar la función para obtener una de las dos indeterminaciones que nos permita aplicar esta regla.
Supongamos que tenemos la indeterminación cero por infinito:
siendo 0 el límite de f(x) e infinito el límite de g(x).
Transformación a ∞/∞:
El límite del inverso de f(x) es infinito:
Por tanto,
Transformación a 0/0:
De forma similar,
3. Otras técnicas
Muchas veces, es posible calcular límites con la indeterminación cero por infinito sin necesidad de aplicar la regla de L’Hôpital.
Ejemplo 1
Solución:
Recordad que el número e es el límite de una función:
Observad que el argumento del logaritmo es la base de la exponencial del límite anterior:
Por tanto, aplicando las propiedades de los logaritmos,
Ejemplo 2
Solución:
Como infinito elevado a infinito es infinito, tenemos la indeterminación infinito por cero.
Podemos escribir la exponencial en el denominador:
El límite es infinito porque tenemos infinito elevado a infinito.
Ejemplo 3
Solución:
Observad que x tiende a infinito negativo. Si cambiamos el signo de las x, podemos escribir x tendiendo a +∞ en el límite:
Así, es más fácil calcular el límite:
El límite es 0 porque la exponencial crece más rápido que el monomio.
Solución:
Recordad que el número e es el límite de una función:
Observad que el argumento del logaritmo es la base de la exponencial del límite anterior:
Por tanto, aplicando las propiedades de los logaritmos,
Ejemplo 2
Solución:
Como infinito elevado a infinito es infinito, tenemos la indeterminación infinito por cero.
Podemos escribir la exponencial en el denominador:
El límite es infinito porque tenemos infinito elevado a infinito.
Ejemplo 3
Solución:
Observad que x tiende a infinito negativo. Si cambiamos el signo de las x, podemos escribir x tendiendo a +∞ en el límite:
Así, es más fácil calcular el límite:
El límite es 0 porque la exponencial crece más rápido que el monomio.Más ejemplos en indeterminación 0 por infinito.