Cassini-Quartiken
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (27.07.2023)
CASSINI-Kurven mit sind bizirkulare Quartiken.
In Analogie zur Gärtnerkonstruktion von Ellipsen werden auch im CASSINI-Falle
als Brennpunkte bezeichnet.
Im Applet oben ist die CASSINI-Schar definiert als mit und .
Als Schar bizirkularer Quartiken kann man die CASSINI-Schar nicht als konfokal bezeichnen:
neben den gemeinsamen Brennpunkten besitzen die Kurven jeweils 2 weitere, aber von Kurve zu Kurve
unterschiedliche Brennpunkte.
Implizit sind die CASSINI-Kurven definiert durch die Gleichungen:
- : Die Quartik ist 2-teilig und besitzt die Brennpunkte . Sie ist achsensymmetrisch und symmmetrisch zum Einheitskreis.
- : Die Quartik ist eine Bernoulli-Lemniskate. Im Doppelpunkt durchdringt die Kurve sich unter 90°. Gespiegelt am Einheitskreis erhält man eine gleichseitige Hyperbel. Brennpunkte sind und der doppelt-zählende Ursprung.
- : Die Quartik ist 1-teilig, achsensymmetrisch, die Brennpunkte sind .
Die CASSINI-Kurven besitzen noch weitere bemerkenswerte Eigenschaften, die an den 3 CASSINI-Kurven in Normalform
exemplarisch gezeigt werden.
siehe auch das book-Kapitel Berührorte oder CASSINI-Kurven im book Moebiusebene.
In einem geeigneten euklidischen Koordinatensystem ist eine CASSINI-Kurve Bild eines Kreises unter der komplexen
Wurzelfunktion: für gilt .
Der THALES-Kreis oder der Peripheriewinkel-Kreis ist der Ort, auf welchem sich die Geraden zweier Geradenbüschel
unter konstantem Winkel (zB. orthogonal) schneiden.
Die Büschelpunkte der Geradenbüschel liegen dabei auf dem Peripheriewinkel-Kreis.
CASSINI-Quartiken sind analog der Peripheriewinkel-Ort für Kreisbüschel: Die Kreise zweier Kreisbüschel, deren
Büschelpunkte ursprungs-symmetrisch auf der CASSINI-Quartik liegen, schneiden sich auf der CASSINI-Quartik unter konstantem Winkel!
Für wird die CASSINI-Quartik oben quasi als "THALES-Kreis" für Kreisbüschel angezeigt.
Büschelpunkte sind die ursprungs-symmetrischen Scheitelpunkts-Paare
Für berühren sich die Büschelkreise auf der Quartik. Büschel-Punkte sind die Scheitelpunkte auf der -Achse
bzw. auf der -Achse.
Für die BERNOULLI-Lemniskate ( ) schneiden sich die Büschelkreise durch die -Achsen-Scheitel und
die Kreise eines parabolischen Kreisbüschels im Ursprung (Doppelpunkt der Lemniskate) unter einem konstanten Winkel,
den man mit dem Punkt pp ändern kann!
Peripheriewinkel - euklidisch
Eine Schar von CASSINI-Quartiken mit als "Brennpunkten" kann man auch als Kurven
einer analytischen komplexen Funktion erhalten: im book geometry of some complex functions/CASSINI-Funktion.
Diese Funktion ist nicht elliptisch!