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Cassini-Quartiken

Autor:Walter Füchte

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (27.07.2023)

CASSINI-Kurven mit sind bizirkulare Quartiken. In Analogie zur Gärtnerkonstruktion von Ellipsen werden auch im CASSINI-Falle als Brennpunkte bezeichnet. Im Applet oben ist die CASSINI-Schar definiert als mit und . Als Schar bizirkularer Quartiken kann man die CASSINI-Schar nicht als konfokal bezeichnen: neben den gemeinsamen Brennpunkten besitzen die Kurven jeweils 2 weitere, aber von Kurve zu Kurve unterschiedliche Brennpunkte. Implizit sind die CASSINI-Kurven definiert durch die Gleichungen:
In dieser Schar liegen 3 bizirkulare Quartiken in Normalform:
  • : Die Quartik ist 2-teilig und besitzt die Brennpunkte . Sie ist achsensymmetrisch und symmmetrisch zum Einheitskreis.
  • : Die Quartik ist eine Bernoulli-Lemniskate. Im Doppelpunkt durchdringt die Kurve sich unter 90°. Gespiegelt am Einheitskreis erhält man eine gleichseitige Hyperbel. Brennpunkte sind und der doppelt-zählende Ursprung.
  • : Die Quartik ist 1-teilig, achsensymmetrisch, die Brennpunkte sind .
Aus den Gleichungen lassen sich die Scheitelpunkte berechnen. Für jede der 3 CASSINI-Kurven wird zum Brennpunkt der Leitkreis für die -achsensymmetrischen doppelt berührenden Kreise angezeigt. Diese Leitkreise besitzen eine für CASSINI-Quartiken charakteristische Eigenschaft: ihr Mittelpunkt stimmt mit überein! Die Konstruktion des Leitkreises beruht auf folgender Eigenschaft: spiegelt man den ausgewählten Brennpunkt an den doppelt berührenden Kreisen, so liegt der Spiegelpunkt auf dem Leitkreis. Umgekehrt konstruiert man zu jedem Punkt q auf dem Leitkreis den zugehörigen doppelt berührenden Kreis und die Berührpunkte mit der Quartik. Die doppelt berührenden Kreise und damit die Quartik sind in den Berührpunkten Winkelhalbierende der Büschelkreise aus den Kreisbüscheln, welche von den -achsensymmetrischen Brennpunktspaaren erzeugt werden.
Die CASSINI-Kurven besitzen noch weitere bemerkenswerte Eigenschaften, die an den 3 CASSINI-Kurven in Normalform exemplarisch gezeigt werden. siehe auch das book-Kapitel Berührorte oder CASSINI-Kurven im book Moebiusebene. In einem geeigneten euklidischen Koordinatensystem ist eine CASSINI-Kurve Bild eines Kreises unter der komplexen Wurzelfunktion: für gilt . Der THALES-Kreis oder der Peripheriewinkel-Kreis ist der Ort, auf welchem sich die Geraden zweier Geradenbüschel unter konstantem Winkel (zB. orthogonal) schneiden. Die Büschelpunkte der Geradenbüschel liegen dabei auf dem Peripheriewinkel-Kreis. CASSINI-Quartiken sind analog der Peripheriewinkel-Ort für Kreisbüschel: Die Kreise zweier Kreisbüschel, deren Büschelpunkte ursprungs-symmetrisch auf der CASSINI-Quartik liegen, schneiden sich auf der CASSINI-Quartik unter konstantem Winkel! Für wird die CASSINI-Quartik oben quasi als "THALES-Kreis" für Kreisbüschel angezeigt. Büschelpunkte sind die ursprungs-symmetrischen Scheitelpunkts-Paare Für berühren sich die Büschelkreise auf der Quartik. Büschel-Punkte sind die Scheitelpunkte auf der -Achse bzw. auf der -Achse. Für die BERNOULLI-Lemniskate ( ) schneiden sich die Büschelkreise durch die -Achsen-Scheitel und die Kreise eines parabolischen Kreisbüschels im Ursprung (Doppelpunkt der Lemniskate) unter einem konstanten Winkel, den man mit dem Punkt pp ändern kann!

Peripheriewinkel - euklidisch

Eine Schar von CASSINI-Quartiken mit als "Brennpunkten" kann man auch als Kurven einer analytischen komplexen Funktion erhalten: im book geometry of some complex functions/CASSINI-Funktion. Diese Funktion ist nicht elliptisch!

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