ES 3.6
Given two lines l,m and a point P not on either line, construct a circle passing through P and tangent to both l and m.
PROCEDURA e DIMOSTRAZIONE (caso l e m non parallele):
1. Traccio la bisettrice dell'angolo che si forma tra le rette m e l date e nel quale il punto P è interno.
2. Trovo il punto P', simmetrico di P rispetto alla bisettrice tracciata nel punto 1. Dato che il centro della circonferenza che dobbiamo trovare deve appartenere alla bisettrice (perchè le rette m e l dovranno essere tangenti alla circonferenza), allora anche il punto P' appartiene alla circonferenza cercata.
3. Ripeto il ragionamento usato nell'esercizio 3.5, trovando la circonferenza tangente alla retta m e passante per i punti P e P'. Tale circonferenza è tangente anche alla retta l per costruzione.
PROCEDURA e DIMOSTRAZIONE (caso l e m parallele):
1. Traccio la perpendicolare alla retta l passante per un punto arbitrario della retta (B). Sia D il suo punto di intersezione con la retta m. Tale retta è perpendicolare anche alla retta m dato che l e m sono rette parallele.
2. Traccio l'asse del segmento BD. La circonferenza cercata avrà centro appartenente a questa retta perchè il centro della circonferenza deve essere equidistante da m e da l (dato che deve essere tangente ad entrambe le rette).
3. Traccio la circonferenza di centro P e raggio BG. Sia H il suo punto di intersezione con la retta del punto 2.
4. Traccio la circonferenza di centro H e passante per P. Tale circonferenza è quella cercata perchè passa per P e inoltre, dato che il suo centro appartiene all'asse di BD, è tangente per costruzione sia alla retta m che alla retta l.
Ovviamente il punto P deve essere compreso tra le rette m e l, altrimenti è impossibile costruire la circonferenza desiderata.