webgrafiek: grafische iteratie
afgeremde groei
Bomen groeien niet tot in de hemel, voorraden aan voedsel, energie of grondstoffen zijn niet oneindig groot. Een populatie die te groot wordt, zal spontaan afremmen.
Evolueert een populatie naar een stabiele grootte? En hoe krijgen we deze afremming in een voorschrift?
De Nederlandse wiskundige Ferdinand Verhulst onderzocht dergelijke dynamische systemen.
- Hij vertrok van 1 (=100%) als maximale omvang van een populatie.
- Hij nam een groeifactor aan die afhankelijk is van de grootte van de populatie. Bij een ongeremde groei met groeifactor r is xn+1 = r . xn. Verhulst nam als groeifactor r (1 - xn)
- Bij een kleine waarde van xn zal de exponentiele groei nauwelijks of niet worden afgeremd. Hoe dichter xn tot de maximale waarde 1 nadert, hoe kleiner de groei wordt.
Je kan de groei ook weergeven in een webgrafiek.
- Teken twee grafieken: de grafiek van de functie die de iteratie bepaalt: f(x)= r. x (1 - x) en de rechte y = x.
- Neem een startwaarde op de horizontale as.
- Bepaal het beeld van deze waarde door de functie. Dit beeld is het snijpunt van de verticale vanuit de startwaarde met de grafiek van f.
- Deze eindwaarde wordt de nieuwe beginwaarde. Teken dus een horizontale lijn door het gevonden snijpunt tot de rechte y=x.
- Herhaal nu: teken telkens eerst een verticale tot f, daarna een horizontale tot y = x.