Elliptische Differential-Gleichungen
ein roter Faden für einige komplexe Funktionen
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books geometry of some complex functions (december 2021)
Elliptische Differentialgleichungen - möbiusgeometrisch charakterisiert - Kurzfassung Wir wollen elliptische Differentialgleichungen mit und ihre komplex-analythischen Lösungsfunktionen möbiusgeometrisch charakterisieren. Genauer und allgemeiner: Klassifiziert werden die Lösungen der Differentialgleichung mit einem Polynom von höchstens 4. Ordnung. Dazu sind in erster Linie die Brennpunkte (Nullstellen der Differentialgleichung) möbiusgeometrisch zu klassifizieren. I.: Die Differentialgleichung besitzt einen 4-fachen Brennpunkt: oder . Lösungskurven sind die Kreise eines parabolischen Kreisbüschels. Durch eine geeignete Möbiustransformation erreicht man , die Lösungskurven sind die Parallelen zur -Achse und Lösung von , also zB.: . II.: Die Differentialgleichung besitzt 2 verschiedene doppelt-zählende Brennpunkte: , also . Lösungskurven sind die Kreise eines hyperbolischen Kreisbüschels, bzw. deren Loxodrome. Transformiert man die Brennpunkte nach und 0, so erhält man mit geeignetem und als Lösung . Lösungskurven sind die Ursprungsgeraden, orthogonal dazu die konzentrischen Kreise um 0. III.: Die Differentialgleichung besitzt einen 3-fachen und einen 1-fachen Brennpunkt: . Transformiert man den 3-fachen Brennpunkt nach , den 1-fachen nach 0, so ergibt sich für die Lösung und als Lösungskurven konfokale Parabeln mit 0 als Brennpunkt. IV.: Die Differentialgleichung besitzt einen 2-fachen und zwei 1-fache Brennpunkte: . Transformiert man nach und nach , so ist eine Lösung von , Lösungskurven sind konfokale Kegelschnitte mit den Brennpunkten . V.: Die Brennpunkte sind paarweise verschieden: die Lösungen sind elliptische Funktionen im eigentlichen Sinne. Transformiert man einen der Brennpunkte (zB. ) nach , so sind Lösungen der entstehenden Differentialgleichung die Weierstraßschen -Funktionen. Normalform: Die 4 verschiedenen Brennpunkte kann man stets mit einer Möbiustransformation abbilden auf . Für die elliptischen Lösungsfunktionen der Differentialgleichung in Normalform:Normalform von 4 Punkten
Wie läßt sich die Normalform kurz (?) begründen?
Im geogebra-book Möbiusebene, insbesondere im Kap. Lage von 4 Punkten wird dies ausführlich begründet
und es werden geometrische Konstruktionen dazu angegeben.
Berechnen läßt sich dies unseren Erachtens nach am ehestens durch die Darstellung der Möbiusgruppe als
Spezielle komplexe orthogonale Gruppe und die Deutung des Geradenraums als LIE-Algebra dieser Gruppe.
Dazu dient als Übertragung das euklidische Koordinatensystem: in einem 3-dimensionalen komplexen Vektorraum,
unten als Geradenraum bezeichnet, ist eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearfom und ein alternierendes Produkt
ausgezeichnet.
Der Vektorraum wird dadurch zu einer Komplexifizierung des Euklidischen Vektorraums mit Skalarprodukt und
Kreuzprodukt. Geometrisch deuten läßt sich dieser Geradenraum mit Hilfe der stereographischen Projektion:
Die komplexe Ebene wird auf die Einheitskugel projiziert. Geraden in dem umgebenden dreidimensionalen Raum
können als Kreisbüschel gedeutet werden: die Ebenen durch eine Berührgerade schneiden die Riemannsche Zahlenkugel
in einem parabolischen Kreisbüschel; Ebenen durch Schnittgeraden schneiden in einem elliptischen Kreisbüschel,
Ebenen durch eine ganz außerhalb verlaufenden Geraden schneiden in einem hyperbolischen Kreisbüschel.
Nun seien vier verschiedene Punkte in . seien die Verbindungsgeraden.
Von einem komplexen Faktor abgesehen ist das LIE-Produkt der beiden Berührgeraden-Vektoren .
Die 3 Geradenvektoren sind paarweise orthogonal.
Die Verbindungsgeraden , aus denen die LIE-Produkte gebildet werden, sind ebenfalls orthogonal zu den Produkten.
Rechnerisch folgt dies aus den Lagrangeschen Entwicklungsregeln. Im 3-dimensionalen euklidischen Vektorraum sind
diese Regeln für das Kreuz-Produkt (cross-product) vertraut.
Geometrisch sind 2 Geraden orthogonal, wenn sich ihre Pole (Schnittpunkte mit der Riemannschen Zahlenkugel)
harmonisch trennen; insbesondere sind sie dann konzyklisch.
Wählt man die 3 orthogonalen Koordinatenachsen im Raum als die drei oben angegebenen paarweise orthogonalen
Geraden, so sind die Pole und je zwei der 4 Brennpunkte liegen punkt-symmetrisch
zu jeweils 2 Polen.
Dies ist nur möglich, wenn die Punkte sich möbiusgeometrisch transformieren lassen
in Punkte .
4 Punkte in Normalform
Durch 4 verschiedene Punkte gehen, wenn sie nicht konzyklisch sind, 4 Kreise.
Die 6 Winkelhalbierenden-Kreise dieser 4 Kreise schneiden sich - geeignet gepaart - in den Grundpunkten
der Symmetrie-Kreise; das sind oben die Punkte ().
Dies folgt geometrisch aus der Lagrangeschen Entwicklungsregel: .
Euklidisches Koordinatensystem
Ein euklidisches Koordinatensystem ist eine orientierte Basis
im Geradenvektorraum mit , für welche die beiden Produkttabellen gelten:
- Die Punkte auf der Möbiusquadrik mit Ausnahme von erreicht man durch die komplexe Parametrisierung der Berührgeraden: .
- Die Verbindungsgerade zweier Punkte : , es ist .
- ist eine Gerade, wenn gilt:
- Zwei Geraden schneiden sich, wenn und gelten. Die Geraden schneiden sich dann , für die Diskriminante gilt.
Konstruktion: ON-Basis und Normalform
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books geometry of some complex functions Dezember 2021 Diese Seite ist auch Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene
Es gibt 3 Möglichkeiten, 4 verschiedene Punkte in 2 Punkte-Paare zu zerlegen. Ein Punkte-Paar (z.B.: ) repräsentiert ein (elliptisches) Kreisbüschel, bestehend aus allen Kreisen durch die beiden Punkte. Die LIE-Klammern verwenden wir analog zu den LIE-Klammern der LIE-Algebra der Möbius-Gruppe: Stellt man die Gruppe der Möbiustransformationen als komplexe dar, so kann man die komplexen Vektoren der zugehörigen LIE-Algebra deuten als Kreisbüschel und den dazugehörigen loxodromischen Kurven. Die komplexe Möbius-LIE-Algebra ist die komplexifizierung des dreidimensionalen euklidischen Vektorraumes mit Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Wir untersuchen beispielsweise die beiden Kreisbüschel und . Falls die 4 Punkte nicht konzyklisch sind, d.h. falls sie nicht auf einem Kreis oder einer Geraden liegen, gibt es aus dem elliptischen Kreisbüschel je ein Kreis durch und durch . Dazu konstruiere man die Winkelhalbierenden-Kreise (rot) cw121, cw122. Auf dieselbe Weise konstruiere man Winkelhalbierenden-Kreise (grün) cw341, cw342 für das elliptische Kreisbüschel und die Kreise durch und . Eines der Kreis-Paare cw12i, cw34j liegen in einem hyperbolischen Kreisbüschel (sie schneiden sich nicht reell), das andere Kreis-Paar schneidet sich in den Grundpunkten des hyperbolischen Kreisbüschels: und es sind die Grundpunkte des Kreisbüschels . Die Punkte-Paare und liegen jeweils punkt-symmetrisch zu den Grund-Punkten . Eine Punktspiegelung ist eine gleichsinnige Möbiustransformation, sie entsteht als Produkt von 2 Kreisspiegelungen an 2 orthogonalen Kreisen aus dem elliptischen Kreisbüschel . Rechnerisch folgt dies daraus, dass die LIE-Produkte und orthogonal zu sind. Analog konstruiert für die anderen Punkte-Paare die LIE-Produkte und ihre Kreisbüschel:- Die LIE-Produkte , und sind paarweise orthogonal, ihre Grundpunkte liegen auf 4 paarweise orthogonalen Kreisen (einer davon imaginär) und die vorgegebenen Punkte-Paare liegen zu den zugeordneten Grundpunkten punkt-symmetrisch