Punto de tangencia a cónica dada por 3 tangentes y 2 puntos. Polaridad
Cónica determinada por tres tangentes, a, b y c, y los puntos de tangencia de dos de ellas (Ta y Tc). Determinar Tb. Problema dual de este.
El punto de intersección de las dos tangentes conocidas, P, tiene como polarP la recta que pasa por A y C. El punto Q, intersección de b y la polarP y B será el polo de una recta, polarQ. Como el polo Q contiene a una tangente a la cónica b, el punto de tangencia Tb estará en la la recta polarQ, que a su vez tendrá que contener al punto P.
La polarQ puede determinarse empleando la propiedad de que, en la involución subordinada sobre la recta polarP los puntos A y C son puntos dobles que separan armónicamente parejas de puntos conjugados, como por ejemplo Q y el pie de su polar, PieQ. No queda más que determinar una cuaterna armónica (pasos 1 a 4).
El problema se puede resolver también considerando la cónica como base de dos haces superpuestos, a, b, c, y a', b' c'. El punto Iac' es el punto de tangencia Ta, el punto Icb' es el punto de tangencia Tc, y el punto Iba' será el punto de tangencia buscado. No queda más que determinar el centro proyectivo de los haces para hallar la solución.
Nótese que esta construcción no es más que un caso particular de la anterior, en la que el Pcualquiera en tc se sitúa en la intersección entre b y c (concretamente en Ica').