Parábola rodante y catenaria
Asunto
Muestra cómo el foco de una parábola traza una catenaria cuando la parábola rueda sobre una recta.
Interactividad
- Rodar: hacemos rodar la parábola automáticamente.
- Deslizador: hacemos rodar la parábola manualmente.
- Activar/Desactivar rastro: el foco de la parábola deja rastro o no.
- Borrar: se elimina el rastro del foco.
- Auxiliares: se muestra la parábola original, su eje, su foco, un punto P que recorre la parábola y su homólogo P' en la parábola rodante. Este punto P' es el de contacto con la recta horizontal y donde la parábola es tangente a dicha recta.
- Catenaria: dibuja la catenaria .
Idea
¿Cómo se simula matemáticamente la rodadura? Una forma es, para cada punto, calcular la longitud de arco que define a partir de un punto inicial dado y llevar esta longitud sobre la recta. En el ejemplo, los puntos P y P' recorren distancias iguales en cada intervalo de tiempo, uno sobre la parábola y el otro sobre la recta.
Preguntas
Si pensamos en la parábola como algo pesado, veremos que cuando su eje es vertical se encuentra en equilibro, pero es un equilibrio metaestable, porque cualquier pequeña perturbación hará que la parábola caiga a un lado o a otro. La pregunta es: ¿dónde encontrará la parábola un nuevo equilibrio?
¿Y sí en vez la parábola infinita consideramos solo un arco?
Fuente
He sabido de esto porque me lo ha contado Martin Gardner en su libro El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos.
+ construcciones: Epsilones