Triángulos herónicos
Los triángulos herónicos, llamados así en referencia a Herón de Alejandría que estudio el de lados (13, 14, 15), son aquellos que tienen lados y área racionales, y con con una unidad adecuada, enteros. La condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea herónico es que dos de las tangentes de sus semiángulos sean racionales.
En ese caso también lo es la 3ª:
Si las tangentes de los semiángulos son racionales, también lo son los senos y cosenos de los ángulos:
sen(α)=2tg(α/2)/(1+tg²(α/2)
cos(α)=(1-tg²(α/2))/(1+tg²(α/2)
Por tanto si el radio R de la circunferencia circunscrita es racional, también lo serán los lados: a=2Rsen(α), b=2Rsen(β), c=2Rsen(γ). Entonces el área S=½a·b·sen(γ) y el semiperímetro s=(a+b+c)/2 también son racionales, así como el radio de la circunferencia inscrita r=S/s y las alturas hA=2S/a ...
Escogiendo R igual a ½ del mínimo común múltiplo de los denominadores de los senos, los lados resultan enteros.
Recíprocamente, si los lados y el área son racionales, también lo son el semiperímetro s y el el radio r de la circunferencia inscritala, así como las tangentes de los semiángulos, pues tg(α/2)=r/(s-a) ...