Problema de Apolonio, Rectas de d'Alembert
Inversiones que relacionan 3 circunferencias
El problema de Apolonio consiste en encontrar las circunferencias que sean tangentes a tres circunferencias dadas: c, d y e.
Para resolver el problema tenemos que considerar que las soluciones han de ser dobles (iguales a sus inversas), en las inversiones que convierten una circunferencia dato en otra. Existen, pues, seis inversiones que relacionan las 3 circunferencias. I1 e I6 relacionan c y d. I2 e I5 relacionan e y d. I3 e I4 relacionan c y e. Las inversiones son negativas o positivas en función de la posición relativa de las circunferencias. Cuando dos circunferencias se cortan, las inversiones que las relacionan son las dos positivas. Si no se cortan, se relacionan por una inversión positiva y otra negativa. Las soluciones habrán de ser ortogonales a la circunferencia fundamental de la inversión (c1 a c6), si la inversión es positiva, y diametrales, si la inversión es negativa.
Los conjuntos de inversiones que convierten c, d y e en otra de ellas estan relacionadas. Existen 4 rectas, denominadas rectas de d'Alembert, que contienen a los centros de inversión, y por lo tanto relacionan las inversiones 123, 145, 246 o 356. Dadas dos inversiones en una recta de d'Alembert la condición impuesta por la tercera es redundante con la de las otras dos.
De esta forma existen 4 familias de soluciones, que tienen como eje radical a cada una de las rectas de d'Alembert. Topológicamente las soluciones sólo existen (rectas de d'Alembert en azul) cuando las inversiones dentro de la recta de d'alambert son consistentes en signo, es decir +++ o --+. Cuando las rectas de d'Alembert son rosas no existe solución asociada con ellas.
Se pueden modificar las posiciones de las tres circunferencias, tanto arrastrando la circunferencia completa, como moviendo su centro Ccde o su punto de paso Pcde.