Torus-Kreis-6-Ecke
Auf einem Torus gibt es 4 Scharen von Kreisen, die man als Schnitte des Torus mit speziellen Ebenen erhält.
Der Torus besitzt eine Drehachse. Ebenen, die orthogonal zu dieser Drehachse liegen, schneiden Paare von Längskreisen aus. Ebenen um die Drehachse schneiden den Torus in Paaren von kleinen Quer-Kreisen.
Ebenen durch den Mittelpunkt schneiden in besonderen Lagen in den "schräg"-liegenden Kreisen: dies sind die VILLARCEAU-Kreise.
Durch jeden Punkt des Torus gehen 4 dieser Kreise. Sie bilden ein Sechseck-Netz der besonderen Art: je drei der Kreis-Scharen bilden ein 6-Ecknetz, welches die Kreise der 4. Kreisschar als Diagonalen besitzt.
Begründen läßt sich dies mit Hilfe der Drehungen um die Achse: die Längskreise sind die Bahnkurven, die übrigen Kreise werden durch die Drehungen mitbewegt.
Dass die 4 Kreisscharen ein Sechsecknetz bilden, folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass die Bewegungen
des Torus kommutativ, - also vertauschbar sind.
Das oben angezeigte 6-Ecknetz aus Kreise besitzt eine weitere Besonderheit: es ist ein endliches 6-Eck-Netz von Kreisen!
Ebenen, welche parallel zur Drehachse liegen, schneiden den Torus in den spirischen Linien des Perseus.
Im Abstand r vom Mittelpunkt erhält man speziell eine CASSINI-Kurve.
Beide Kurventypen gehören zu den bizirkularen Quartiken, das sind Kurven mit einer Gleichung der Art: