Differenzierbare und nichtdifferenzierbare Funktionen
Wann nennt man eine Funktion differenzierbar?
Eine Funktion heißt differenzierbar in einem Punkt, wenn sich in diesem Punkt eine
eindeutige Tangente an den Graphen zeichnen lässt.
Wie überprüft man, ob eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist?
Betrachte die Funktion f(x)=(x+2)²-4 in der Abbildung. Es soll überprüft werden, ob diese Funktion im Punkt P(0, 0) differenzierbar ist, also, ob sich in P eine eindeutige Tangente an f zeichnen lässt.
Benutze den Schieberegler, um an die Funktion im Punkt P heran zu zoomen. Zoome nun so nah an f heran, bis es so aussieht, als wäre f eine Gerade.
Blende nun die Gerade t ein indem du auf den Punkt neben t(x) klickst. Wenn du nah an f herangezoomt hast, erkennst du, dass t die Funktion f überdeckt. Das bedeutet, dass t die Tangente an f im Punkt P ist. Des weiteren lässt sich t nicht anders zeichnen, was bedeutet, dass t eindeutig ist. Also ist f im Punkt P differenzierbar, da f in P die eindeutige Tangente t hat.
Zomme nun zurück und verschaffe dir einen Überblick darüber, wie t an f anliegt.
Aufgabe 1
Überprüfe, ob die Funktion g im Punkt Q=(1, 1) differenzierbar ist, indem du mit dem Schieberegler an den Punkt heranzoomst. Begründe deine Antwort.
Aufgabe 2
Überprüfe auch hier, ob die Funktion b im Punkt R=(0, 0) differenzierbar ist, indem du mit dem Schieberegler an den Punkt heranzoomst. Welchen Unterschied kannst du hier zu den vorherigen Funktionen erkennen? Begründe deine Antwort.