E 05 Egybevágósági transzformációk az E-síkon
Legyen adott egy E-egyenes (két pontjával) és egy E-pont
Ahhoz,, hogy (majd) háromszögekről és azok egybevágóságáról essék szó, előbb ismerkedjünk meg néhány olyan művelettel, amelyek szükségesek az E-síkon értelmezhető egybevágóság fogalmához.
Emlékeztetőül: a gömbi geometriában a G-egyenesre (gömbi főkörre ) vonatkozó tükrözésen a G-pontoknak a G-egyenes síkjára vonatkozó tükrözését értettük. Azt is láttuk - az E-sík gömb-, félgömb-, és körmodellje közötti kapcsolatot vizsgálva - , hogy az így értelmezett tengelyes tükrözésnek az E-körmodellen az E-egyenesre vonatkozó inverzió felel meg.
Tehát:
- Az Elliptikus síkon értelmezett tengelyes tükrözés az E-modellen az E-egyenesre -mint körívre vonatkozó inverzió azzal a kiegészítéssel, hogy ha egy pont inverze kívül esik a modell alapkörén, akkor ennek a polár-reciprocitással képzett belső pontja a tükrözés eredménye . (Itt: 2. app.)
- Az Elliptikus síkon értelmezett centrális tükrözés az E-modellen két, egymásra merőleges E-egyenesre vonatkozó E-tengelyes tükrözés szorzata. (Épp úgy, mint az euklideszi és a hiperbolikus geometriában.)
- Legyen adott a c=(A,B) E-egyenes, és két c-re nem illeszkedő P és Q pont. Mutassuk meg, hogy a P és Q pontokkal adott egyik szakasz biztosan nem metszi c-t! (A másik viszont igen). Vagyis egy E-egyenes nem választja el a rá nem illeszkedő pontokat.
- Legyen P és O az E-modell két pontja, P' a P pont O-ra vonatkozó centrális tükörképe! Mutassuk meg, hogy a P és P' pontokkal adott egyik szakasz biztosan nem tartalmazza O-t! Rövid kísérletezés után észrevehetjük, hogy az O centrumú centrális tükrözésnek vannak az O ponttól különböző fix pontjai is. Ezek az O pont polárisára illeszkednek. (√ Szerkesztés)
- A kölcsönösen egyértelmű pólus→poláris és poláris→pólus hozzárendeléssel szinte "ölünkbe pottyan" az E-sík talán legspeciálisabb háromszöge, amelyben a csúcsok polárisai a háromszög szemközti oldalai. Ennek mindhárom oldala és mindhárom szöge derékszög. A továbbiakban ezt nevezzük kvadrát háromszögnek , mivel négy ilyen háromszöggel lefedhető az egész E-sík. Egy kvadrát háromszöget legkönnyebben egy - az E-modellen belül szabadon mozgatható P pontjával - és P polárisán mozgó - így félig kötött - M pontjával adhatunk meg. Ezzel a két ponttal leírható (modellezhető) az E-sík összes mozgása. A kvadrát háromszög egy fontos tulajdonsága, hogy az oldalai nem metszik az E-modell alapkörét.
- Mivel a (PP') egyenes - mint minden O-ra illeszkedő egyenes - merőleges az O pont polárisára, másrészt a P→P' transzformáció P'-t P-be viszi, kimondhatjuk, hogy az elliptikus síkon értelmezett centrális tükrözés és a poláris egyenesére vonatkozó tengelyes tükrözés ugyanaz a geometriai transzformáció. Az is könnyen észrevehető, hogy a (P,P') és az (O,T) pontpár elválasztó pontnégyest alkot, ahol T az O pólusának és az (OP) E-egyenesnek a metszéspontja. Mindez úgy is megfogalmazható, hogy az E-sík bármely (P,P') pontpárjához két olyan centrális tükrözés is tartozik, amely ezeket egymásba viszi át. (Itt O és T a két centrum.)
(Szakasz) felezőpontok
- Az elemi geometria szóhasználatát követve adtuk ezt címet az alábbi szövegnek, noha helyesebb lenne tükörpontoknak nevezni a keresett pontokat. Azokat, amelyekre vonatkozó centrális tükrözés az E-sík A és B pontját egymásba viszi át. Mivel az E egyenes zárt vonal, az (AB) egyenesen két ilyen pont is található, (Előző app. 4. lépés) Így indokolt a többesszám használata. A felezőpontok megadására készített saját eljárás a színeivel különbözteti meg, hogy a két E-zakasz közül melyik a kisebbnek és melyik a nagyobbnak a felezőpontja. Ezen alapszik a szakaszok nagyságuk szerinti megkülönböztethetősége is.
- Mivel a két AB szakasz hossza együtt 180°, ezért a felezőpontok távolsága 90°, így a két felezőpont és az (AB) egyenes pólusa kvadrát háromszöget alkot.
- Az E-modell eljárásai között nincs olyan, amellyel megmérhető A és B pontokkal meghatározott két szakasz hossza. De nincs is rá szükség. Ugyanis a két E-egyenes szögének - fokokban mért mértéke- (amely nem nagyobb 90°-nál), alkalmas a szakaszok hosszának a mérésére is: annak a két egyenesnek a szögével mérhetjük meg, amelyek illeszkednek az AB egyenes P pólusára, A és B bármelyikre, valamint az F_1 ill, és F_2 tükörpontok egyikére. Az így kapott szög kétszerese a kiválasztott szakasz hossza.
- Felvettünk egy további C és egy O pontot. Egyelőre jelentse ABCΔ az A, B és C pontokból és a rájuk illeszkedő E-egyenesekből álló geometria alakzatot. (A háromszöglap fogalmának az egyértelmű kialakítását halasszuk későbbre.) Az A, B, C pontokat alávetve az O centrumú centrális nyújtásnak az ugyancsak három pontból és három egyenesből álló A'B'C'Δ háromszöghöz jutunk. Most azt vizsgáljuk, Van-e olyan ABCΔ , és ehhez egy olyan O pont, amelyre teljesül, hogy az ABCΔ és az A'B'C'Δ egybeessen. Némi kísérletezés után megsejthetjük, hogy ez előfordulhat. Az ABCΔ≡A'B'C'Δ? feliratú szövegre kattintva erről meg is győződhetünk. Az nem meglepő, hogy az egyenlő szárú háromszög tengelyesen szimmetrikus alakzat, de az talán igen, hogy az elliptikus geometriában vannak centrálisan szimmetrikus háromszögek: azok, amelyeknek van legalább két derékszögük. Ezek szimmetriacentruma az alap felezőpontja. (A kvadrát háromszögnek hat szimmetria centruma van.) Aki kíváncsi arra, hogy hogyan lehet beállítani ezt a speciális esetet, itt (3.app.) talál némi magyarázatot.