Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

Sz02 Adott két kör ...

(k1, k2) és egy pont (O). Szerkesszünk olyan kört, ami illeszkedik az adott pontra és érinti az adott köröket!

Szerkesztés

Egy O pólusú inverzió esetén a keresett kör képe egyenes. Ez az egyenes érinti az adott két kör inverz képeit. Kényelmi szempontból olyan inverziót választunk, melyre nézve a k1 kör invariáns. Kihasználhatjuk még, hogy a geometriai inverzió szimmetrikus transzformáció. Ezek alapján a szerkesztés menete:
  1. az inverzió alapköre
  2. inverze -ra
  3. közös érintők szerkesztése -hez és -hez
  4. a 3.-ban kapott érintők inverzei

Diszkusszió

A megoldások számának vizsgálata nagyon bonyolult. Próbálkozunk minél több esetet vizsgálni, de a teljesség illúziójában nem ringatjuk magunkat. Ha k1 és k2 egymáson kívül vannak, és O mindegyik körnek külső pontja, akkor 4 megoldás. (lásd 1. applet) Ha k1 és k2 kívülről érintik egymást, és O mindegyik körnek külső pontja, akkor 3 megoldás.
Ha k1 és k2 metszik egymást, és O mindegyik körnek külső pontja, akkor 2 megoldás. (lásd 1. applet) Ha a két adott kör közül az egyeik belsejében van a másik, és az adott pont mindegyiknek külső pontja, akkor mincs megoldás. Ha a körök közül az egyik a másikat belülről érinti, és O mindegyik körnek külső pontja, akkor 1 megoldás.
Ha az adott pont az egyik adott körre illeszkedik, akkor az keresett kör inverz képe egyenes. Ekkor módosul a szerkesztés: