Triangle maximum entre deux triangles équilatéraux
Optimisation d'aires autour des deux triangles équilatéraux mobiles
Soit [AB] un segment de longueur 1 et soit C un point de [AB] distinct de A et B.
On construit, du même côté du segment [AB], les triangles équilatéraux ACM et CBN.
Existe-t-il une position du point C telle que le triangle CMN ait une aire maximale ?
Soit C’, M’ et N’ les milieux du triangle équilatéral ABD.
Le triangle C’M’N’ a une aire maximale.
Démonstration
Pour montrer que l'aire de CMN est inférieure à l'aire de C’M’N’, comparer l'aire de DMN et celle de DM’N’.
À une symétrie près, par rapport à la médiatrice de [AB], choisir le point C sur [AC’] où C’ est le milieu de [AB].
La symétrie de centre I, milieu du parallélogramme MCND, transforme le triangle CMN en DNM, triangles de même aire.
Le point M’, situé sur le côté [DM], a pour symétrique M1, intersection de (M’N’) et de (CM).
Le triangle IMM’a pour symétrique , triangles de même aire.
Le triangle DMN a donc même aire que le quadrilatère DM’M_1N. En ajoutant, à cette surface, le triangle équilatéral , de côté de longueur | 1/2 – x |, on obtient le triangle DM’N’.
Les triangles C’M’N’ et DM’N’, symétriques par rapport à (M’N’) ont même aire.
L'aire de CMN est égale à l'aire de C’M’N’ diminuée de l'aire du triangle équilatéral . L'aire de ce triangle équilatéral est minimale lorsque N et N’ sont confondus. L'aire du triangle CMN est alors maximale pour x = 1/2 , C est en C’.
Preuve synthétique par la méthode des aires.
Descartes et les Mathématiques - Lieux géométriques au collège