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Apollonios' Problem hyperbolisch 2

Autor:
Walter Füchte

Die Kreise a, b, c können mit Hilfe der Randpunkte auf K0 bewegt werden.

Zu den drei vorgegebenen Kreisen a, b, c werden für jeden denkbaren Fall die Symmetrie-Kreise konstruiert. a, b, c sind orthogonal zu K0, die Symmetrie-Kreise sind es ebenfalls. Alle diese Kreise sind im POINCARÉschen Kreisscheibenmodell also hyperbolische GERADEN.
  • Gesucht werden berührende Kreise: dies ist das Problem des APOLLONIOS für den vorliegenden hyperbolischen Spezialfall.
Schneiden sich die Symmetrie-Kreise in einem gemeinsamen Punkt, so vertauschen die Spiegelungen an den Symmetrie-Kreisen die vorgegebenen Kreise. Berührt ein Kreis einen der Kreise a, b, oder c, so berührt er auch die anderen 2 Kreise. Ein solcher Berührkreis ist auch in der hyperbolischen Ebene ein KREIS: das ist die Menge aller Punkte, die vom MITTELPUNKT des KREISES denselben hyperbolischen Abstand besitzen. Der MITTELPUNKT ist hier der Symmetrie-Punkt. Es gibt aber auch den Fall, dass 3 Symmetrie-Kreise zu a,b, b,c und c,a in einem elliptischen Kreisbüschel liegen. Die Büschelpunkte dieses elliptischen Kreisbüschels liegen auf K0. Der Berührkreis ist dann eine Abstandslinie der hyperbolischen GERADEN mit den Büschelpunkten als Randpunkten. Auch in diesem Fall kann man einen Berührkreis konstruieren. Die Figur ist symmetrisch zum absoluten Kreis K0, daher treten die Berührkreise immer paarweise auf! Wie konstruiert man die Berührpunkte? Im Prinzip ist es dasselbe Verfahren wie für die Dreiecke in der euklidische Ebene: zu den Seiten des Dreiecks konstruiert man die Winkelhalbierenden. Die Berührpunkte für den Innenkreis, bzw. für die Ankreise findet man, in dem man von den Winkelhalbierenden-Schnittpunkten die Lote auf die Dreiecksseiten fällt! Betrachtet man im obigen Applet den Grenzfall, dass die 3 GERADEN in 3 Randpunkte übergehen, so findet man als einzigen Berührkreis der 3 Punktkreise den absoluten Kreis K0, dieser ist dann der Umkreis des entstehenden Dreiecks. Auch die Grenzfälle 1 Punkte - 2 Kreise bzw. 2 Punkte - 1 Kreis kann man mit dem Applet erkunden!

Diese Seite ist eine Aktivität des geogebra-books kugel-dreiecke (August 2018)

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