２．複素数と図形問題
このページは電子ブック「探求 数学Ⅲ」の一部です。
★複素数ってベクトルだっけ？？
１．複素数とベクトル
＜複素数の和差はベクトルと同じ＞
複素数の和差の定義は、成分ごとの和差だ。
だから、ベクトルの和差の定義と同じと言える。
もちろん定数倍も同様になる。
ということは、線形[linear]な計算で位置が決まる数式は、複素数とベクトルは同じになる。
太字が複素数だとする。位置ベクトルと同じ式だ。
・線分A(a)B(ｂ)をｍ：ｎに分ける点ｐはp=(na+mb)/m+n
（外分はｎを負の数にすればよい。）
・２点A(a)、B(ｂ)を通る直線ｚ=sa+tb（s+t=1）
・三角形ABC(a,b,c)の重心gはｇ＝(a+b+c)/3
・２点AB(a,b)の中点ｍはｍ=(a+b)/2
これらを実部と虚部それぞれでやればいいね。
＜線分の長さ＞
線分ABに向きをつけたベクトルABは終点Bー始点A＝b-aで位置ベクトルの差で表すことができた。
複素数でもまったく同じに2つの複素数の差b-aで表すことができる。
ベクトルと同様に複素数で線分の長さを表すには|b-a|と表す。
だから、中心がAで半径ｒの円つまり、AP=rとなる円の方程式は
|z-a|=rでよい。
・「A(a)とB(ｂ)の垂直二等分線は、P(z)とすると、PA=PBという条件を絶対値を使えばよいね。
だから、|z-a|=|z-b|。
・「A(a)とB(ｂ)からの長さがm:nの点zは、P(z)とすると、nPA=mPBという条件を絶対値で使えばよいね。
だから、n|z-a|=m|z-b|。これはアポロニウスの円だね。
（例）
「|z-3|=2|z|が表すｚの軌跡」は？
A(3,0)とO(0,0)を結ぶ線分AOを2:1に分ける２点B(-3,0),C(1,0)を結ぶ線分BCが直径のアポロニウスの円。
だから、(-3+1)/2=-1、1-(-1)=2から、中心が(-1,0)、半径２の円になる。複素数方程式は|z+1|=2。
（例）
「ｚが中心-1+i, 半径１の円ならｗ=-(z+i)/(z-i)の軌跡」は？
|z+1-i|=1。この式に、ｗの式を積の形にしてｚで整理してｚ＝ｗの式を代入してみよう。
z+i=(i-z)w=iw-zw。ｚ(w+1)=i(w-1)から、ｚ＝(w-1)i/(w+1)。これを絶対値の式に代入する。
|(w-1)i/(w+1)+1-i|/|w+1|=|(w-1)i+(w+1)(1-i)|/|w+1|=|wi-i+w-wi+1-i|/|w+1|=|w+1-2i|/|w+1|=1
だから、|w-(-1+2i)|=|w+1|となる。２点A(-1+2i),B(-1+0i)を結ぶ線分ABの垂直２等分線だね。
（例）
「ｚが|z|2-(1+i)z-(1-i)z*=-1を満たすときｗ＝z+(1+√3)iの偏角θの最小値」は？
共役を*で表すとき、|a|=|a*|, aa*=|a|2となることを意識してみよう。
zz*-(1-i)*z-(1-i)z*+(1-i)(1-i)*=-1+2。(z-(1-i))(z-(1-i))*=1。|z-(1-i)|=1。
ｚは中心1-iで半径１の円。ここで、wの式をｚ＝ｗの式にして代入してみよう。
z=w-(1+√3)i。|w-i-√3i-1+i)|=1 。|w-(1+√3i)|=1。wは中心1+√3i＝(2；60°)で半径1の円。
図をかいて原点から円ｗへ接線をひく。
cos60°=1/2から、原点から引いた接線は虚軸とｙ＝tan30°ｘだから、最小値θ＝30°。
（例）
「|α-β|=1で|α|=２のとき、f(x)=x/|x|2と約束するとき、|f(α)-f(β)|の最小値」は？
f(x)=x/xx*=1/x*だから、p=|f(α)-f(β)|=|1/α*-1/β*|=|β*-α*|/|α*||β*|=|α-β|/|α||β|=1/2|β|となる。
A(α)は原点Oで半径2の円周上を動き、B(β)はAを中心に半径１の円周上を動く。
だから、pの最小になるのは、|β|が最大の2+1=3のとき。最小値=1/(2･3)=1/6。
複素数はベクトルと親子？兄弟？
２．商の複素数の図形的な意味
＜複素数の商の意味＞
３点A(a)、B(ｂ)、C(c）で２つの複素数の差の商(AB)/(AC)が(r ; θ）と等しいとき
となり、積の形にすると、AB =AC ・（r ; θ)となる。だから、
ABはACのｒ倍に拡大し、θ回転してベクトルとしてとらえられるね。
（例）
ならば、riという純虚数に等しいことになる。90度回転になるからABとACは垂直。
（例）
ならば、±ｒという実数に等しいことになる。3点A,B,Cは同一直線上にある。
（例）
「３点A(a)、B(i)、C(√3+2i）を頂点とする直角三角形ABCの角A,B,Cが90,60,30(度)となるときのa」は？
BA:BC=1:2で、角B=±60度を複素数の商で表すと、
これを積の形にして、a-b=(c-b)z だから、a=i+(c-i)z=
（例）
「4点O,P(1+i),A(α),B(β)でOPAは正三角形、PBAはPB=ABの直角三角形で、Aが第4象限、BがOPAの内部
このときのα、β」は？
p=1+iだから(1；-60°)=1/2-√3/2iをかけて、α=(1+i)(1/2-√3/2i)=(1+√3)/2+(1-√3)/2i。
Aを中心にPを45°回転して1/√2倍するとBに重なるから、(p-α)(1/√2; 45°)=(β-α)となる。
β-α=(p-α)・1/2(1+i)=1/2(1+i- ((1+√3)/2+(1-√3)/2i)(1+i)=1/4((1-√3)+(1+√3)i)(1+i)
=1/4((1-√3)+(1+√3)i+(1-√3)i-(1+√3))=1/4(-2√3+2i)
β=1/2((1+√3)+(1-√3)i)+1/4(-2√3+2i)=1/2((1+√3-√3)+(1-√3+1)i)=1/2+(1-√3/2)i。
（例）
「虚軸上の複素数ｐ＝ｚ/(z-√２）がｑ＝(1+i)/√２から一番遠いｚのsum(ｚk,k,0,7)の値」は？
３点A(a=(√2,0)),P(p=(x,y)),O(o=(0,0))はｐ＝(z-0)/(z-√2)=(r; 90°)となり、角Pが直角な三角形となる。
だから、角Pは直径OA上の円周角。円の中心はAOの中点M(m=(√2/2,0)),半径は√2/2。
点Q（q=(√2/2,√2/2)=(１；45°))はこの円周上にある。
qから一番遠いｚは、点QのMについて対称な点（q*=(１；-45°)=(1-i)/2 )。
sum(ｚk,k,0,7)=1+z+....+z7=(z8-1)/(z-1)=((1；-45°・8)-1)/(z-1)=(1-1)/(z-1)=0。