Scoperta guidata alla formula di Eulero
Confronto tra i polinomi approssimanti di e^x , cosx, sinx intorno a zero
Quale dei tre polinomi contiene tutti i gradi?
Quale dei tre polinomi contiene solo potenze pari?
Quale dei tre polinomi contiene solo potenze dispari?
Come cambiano i segni nei polinomi di seno e coseno?
Se sommiamo, raggruppando, i termini di grado pari e poi di grado dispari del polinomio di (e^x), cosa succede?
L'unità immaginaria
Ricordiamo che l'unità immaginaria i è tale che . Calcolare:
Completa la seguente tabella: potenza valore ...
Che tipo di ricorrenza si osserva?
Esperimento matematico
Che cosa succede se al posto di mettiamo nel polinomio di ? Scrivi sotto come diventa facendo la sostituzione suggerita.
calcoliamo le potenze: ...
ora sostituiamo
dopo aver calcolato le potenze esplicita come diventa il polinomio
Separazioni delle parti
Possiamo raggruppare i termini senza la e quelli con ? Scrivi sotto come diventa con i termini separati (mettendo in evidenza il fattore comune )
Il confronto finale
Considera com'è diventato il polinomio che esprime e ricorda che: e 1. Il primo gruppo di termini di (quelli che non contengono la ) a quale funzione assomiglia? 2. Il secondo gruppo di termini di (quelli che contengono la ) a quale funzione assomiglia? 3. Che cosa otteniamo quindi? Dopo queste considerazioni scrivi come possiamo esprimere
Le funzioni senx e cosx sono nascoste dentro quale funzione?
La formula di Eulero
La relazione che hai trovato che viene detta "La formula di Eulero", 
fu scoperta e divulgata dal matematico svizzero Leonhard Euler (Eulero) nel XVIII secolo, nello specifico pubblicata nel 1748 nella sua opera fondamentale Introductio in analysin infinitorum.
La formula collega i numeri complessi alla trigonometria, unificando la funzione esponenziale con le funzioni trigonometriche seno e coseno attraverso l'unità immaginaria.
Riscrivi sotto l'importante formula:
L'identità di Eulero
Come si trasforma la formula di Eulero se si pone ?
La formula di Eulero calcolata per da' una relazione che viene detta 'identità di Eulero' spesso definita la "formula più bella della matematica" perché collega cinque dei più importanti numeri matematici () in un'unica equazione. Inserisci una ricerca storica del motivo per cui viene definita la formula più bella della matematica.