Grupo afín
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia.
Comando GeoGebra asociado: AplicaMatriz
Hemos visto que las coordenadas homogéneas de un punto P' con las misma coordenadas que P, pero referenciadas a un sistema de referencia {O, a, b} vienen dadas por:
P' = T P
donde T es la matriz ampliada:T=
Si llamamos T' a la matriz inversa de T (sabemos que existe porque su determinante es el mismo que el de M, que era invertible), podemos expresar las coordenadas de P en función de las coordenadas de P':P = T' P'
Gracias a la correspondencia entre transformaciones y matrices, resulta fácil ver que las transformaciones afines invertibles del plano constituyen un grupo, denominado grupo afín, es decir:- Al componer dos transformaciones se obtiene una nueva transformación. La composición de dos transformaciones T1 y T2, es decir, su aplicación ordenada y sucesiva, da como resultado la transformación cuya matriz es el producto de ambas, T = T2 T1:
P' = T1 P, P'' = T2 P' P'' = T2 T1 P
- Existe una transformación (la identidad) que al componerla con otra no la altera. La transformación identidad corresponde a la matriz identidad de orden 3.
- Toda transformación tiene una transformación inversa (aquella que al componerla con la primera da la identidad). La transformación inversa de T corresponde a la matriz T', la matriz inversa de T.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.