L'esponenziale complesso
Vogliamo mostrare, con metodi elementari, che quando si eleva un numero reale a ad una potenza puramente immaginaria si ottiene un numero complesso di modulo 1, qualcosa cioè del tipo . Cambiare questo numero a, vuol dire cambiare unità di misura per gli angoli.
Con metodi elementari
Ricordate le proprietà dei logaritmi? Il logaritmo in base 2 è definito da , e così per i logaritmi in altre basi.
Variando la base, la funzione logaritmo cambia, ma mantiene alcune caratteristiche di forma. In particolare, tutti i logaritmi di 1, in qualsiasi base siano, valgono 0.
La pendenza nel punto di ascissa 1 invece cambia al variare della base.
Esiste una sola base per cui la retta tangente in 1 alla curva "logaritmo" ha coefficiente angolare 1 (vedi figura): questo numero si chiama "numero di Nepero" e si indica con .
Detto con altre parole, la caratteristica del logaritmo in base e, detto "logaritmo naturale", è che la variazione
,
calcolata in x=1 tende ad 1 per Δx che tende a 0.
Invertendo i termini della faccenda, ossia invertendo il ruolo delle ascisse e delle ordinate nel grafico del logaritmo, vediamo che in y=0 il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione esponenziale è l'inverso di 1 ossia ancora 1. In altre parole,
,
calcolato in y=0 tende ad 1 per Δy che tende a 0.
Consideriamo il numero . E' un numero complesso? Se sì, qual'è il suo modulo?
Proviamo a considerare , e usiamo il risultato precedente per calcolare
.
Nel limite, fare la variazione di significa moltiplicare per i, ossia ruotare di 90 gradi.
Ora consideriamo , e facciamone la variazione usando Geogebra.
Rappresentiamo
QUI INSERISCI FOGLIO GEOGEBRA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Vediamo che per piccoli incrementi δ, otteniamo il vettore di modulo unitario perpendicolare ad A, ossia
(20)ΔAΔα:=B−Aδ→iA≡(cos1+isin1)(α+π2).
Sia la variazione di (cosα+isinα)iα che quella di eiα si riducono alla rotazione di un angolo retto in senso antiorario.
Immaginiamo che α abbia il significato di tempo. All'istante iniziale α=0, ambedue le espressioni valgono 1. Poi crescono con la stessa velocità, dal momento che istante per istante la variazione delle due segue la medesima legge. Possiamo concludere che le due espressioni continuano ad avere lo stesso valore per ogni α, ossia che