La Aguja de Buffon-Laplace, con cuadrículas.
- Autor:
- Rafael Pérez Laserna
1. Introducción.
El problema de la Aguja de Buffon-Laplace, que hemos visto en una actividad anterior, se puede complicar, creando un tablero de cuadrículas. Un estudio completo de este problema lo podemos encontrar en la web del Wolfram Mathworld.
Este problema fue ideado y resuelto por el conde de Buffon entre 1733 y 1777. Sin embargo, en su resolución cometió un error y fue Laplace en 1812 quien encontró la verdadera solución del problema.
2. Desarrollo de la actividad.
Vamos a crear una actividad de GeoGebra, para este problema. Para que el ejercicio sea más sencillo, las cuadrículas tendrán de alttura y anchura 1 y las agujas pueden medir hasta 1.
La probabilidad se puede calcular, de que la aguja no toque ninguna cuadrícula, de que toque solo uno de los lados o de que toque los dos. En cada caso las fórmulas son diferentes, pero en todas ellas aparece el número , por lo que esta actividad vuelve a ser una buena forma de estimar el valor de .
Así que animo al lector a probar diferentes ejericicios, pulsando en las pestañas de abajo, e ir variando el número de agujas que dejamos caer. En cada caso nos apareceran diferentes estimaciones del número . Algunas preguntas que nos podemos hacer es:
- ¿Dónde salen mejores aproximaciones a , con 0 cortes con uno o con dos?
- ¿Las aproximaciones mejoran si lanzamos más o menos agujas?
- ¿Las paroximaciones mejoran si cambiamos el tamaño de las agujas?¿Mejoran si las tomamos mayores con valores próximos a 1 o con valores más cercanos a 0?
2. Desarrollo de la actividad.
Vamos a crear una actividad de GeoGebra, para este problema. Para que el ejercicio sea más sencillo, las cuadrículas tendrán de alttura y anchura 1 y las agujas pueden medir hasta 1.
La probabilidad se puede calcular, de que la aguja no toque ninguna cuadrícula, de que toque solo uno de los lados o de que toque los dos. En cada caso las fórmulas son diferentes, pero en todas ellas aparece el número , por lo que esta actividad vuelve a ser una buena forma de estimar el valor de .
Así que animo al lector a probar diferentes ejericicios, pulsando en las pestañas de abajo, e ir variando el número de agujas que dejamos caer. En cada caso nos apareceran diferentes estimaciones del número . Algunas preguntas que nos podemos hacer es:
- ¿Dónde salen mejores aproximaciones a , con 0 cortes con uno o con dos?
- ¿Las aproximaciones mejoran si lanzamos más o menos agujas?
- ¿Las paroximaciones mejoran si cambiamos el tamaño de las agujas?¿Mejoran si las tomamos mayores con valores próximos a 1 o con valores más cercanos a 0?
La Aguja de Buffon-Laplace generalizado a un tablero de cuadrículas.
3. Conclusión.
GeoGebra es maravilloso para realizar experimentos. Este ejercicio es fácil de hacer en las clases. Pero GeoGebra nos permite realizar el experimento miles de veces y hacer los cálculos que necesitamos para estimar el valor de , con mucha precisión.
Si deseamos saber más de esta actividad y como se construye, se puede ver en el vídeo siguiente: